Трапец

[Гост]

Радиусът на описаната около трапеца ABCD окръжност, при условие, че BC=CD=AD=b и ъгъл BAD=[tex]\alpha[/tex]

[Петър Евгениев]

Здравей.Дадено ти е ,че [tex]BC=CD=AD=b[/tex], и [tex]\angle BAD=\alpha[/tex]
Запомни, че всеки вписан в окръжност трапец е равнобедрен(тук ти е дадено на готово, но аз да ти кажа).
Знаем, че [tex]\angle BAD=\angle ABC[/tex] и [tex]\angle BCD[/tex] са прилежащи и се допълват до [tex]180^circ[/tex].(може и от условието четириъгълник да е вписан в окръжност, а именно срещу лежащите ъгли се допълват до 180)
От това следва ,че:[tex]\angle BCD=180-\alpha[/tex].Построяваш си диагонала [tex]DB[/tex], (с цел да изразиш диагонала с нещо, което знаеш)
[tex]\triangle BDC (BC=DC=b)[/tex], косинусова теорема за този триъгълник [tex]DB^{2}=b^{2}+b^{2}-2b.b.cos(180^\circ-\alpha)[/tex]
$$DB^{2}=b^{2}+b^{2}+2b^{2}.cos\alpha=2b^{2}(1+cos\alpha)$$
$$DB=\sqrt{2b^{2}(1+cos\alpha)}=b\sqrt{2(1+cos\alpha)}$$
Намерих ме [tex]DB[/tex], но защо ми беше да го търся? Аз си мислех така:"Трябва ми радиуса на окръжността как мога да го намеря? Аааа, ето, при синусова теорема за ВПИСАН в тази окръжност триъгълник се споменава [tex]R[/tex]"
Ако разгледаш триъгълник [tex]ABD[/tex] или [tex]BDC[/tex], един от двата(понеже и двата са вписани:трите им върхове лежат на окръжността)
Нека изберем [tex]\triangle ABD[/tex], синусова теорема [tex]\frac{AB}{sin\angle ADB}=\frac{AD}{sin\angle ABD}=\boxed{\frac{DB}{sin\alpha}}=2R[/tex]
Избирам си последното отношение[tex]\frac{DB}{sin\alpha}=2R[/tex],като вече намерих [tex]DB=b\sqrt{2(1+cos\alpha)}[/tex], замествам
[tex]\frac{b\sqrt{2(1+cos\alpha)}}{sin\alpha}=2R[/tex], решавам за [tex]R[/tex], (просто делиш на 2 )
$$R=\frac{b\sqrt{2(1+cos\alpha)}}{2sin\alpha}$$

[ева]

Може да опростим отг.,получих [tex]\frac{b}{2sin\frac{\alpha}{2}}[/tex]

[Davids]

Ще ползвам чертежа от първото мнение. По косинусова теорема имаш първо, че $BD^2 = d^2 = b^2 + b^2 - 2b^2cos(180^{\circ} - \alpha) = 2b^2(1 + cos\alpha)$. Да, но $1 + cos\alpha = 2cos^2\frac{\alpha}{2} \Rightarrow d = \sqrt{2b^2.2cos^2\frac{\alpha}{2}} = 2bcos\frac{\alpha}{2}$
Паралелно с това търсеният радиус се явява и радиус на описаната около $\Delta BCD$ окръжност, следователно можем да работим с формули за лица:
$S_{BCD} = \frac{b.b.sin(180 - \alpha)}{2} = \frac{b.b.2bcos\frac{\alpha}{2}}{4R} \Rightarrow R = \frac{4b^3cos\frac{\alpha}{2}}{4b^2sin\alpha} = \frac{bcos\frac{\alpha}{2}}{2sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2}} = \frac{b}{2sin\frac{\alpha}{2}}$

[S.B.]

Към първото мнение:R = [tex]\frac{b\sqrt{2(1 + cos\alpha})}{2sin\alpha}[/tex] =[tex]\frac{b\sqrt{4cos^{2}\frac{\alpha}{2}}}{4sin\frac{\alpha}{2}.cos\frac{\alpha}{2}}[/tex]=[tex]\frac{b.2cos\frac{\alpha}{2}}{4sin\frac{\alpha}{2}.cos\frac{\alpha}{2}}[/tex] =[tex]\frac{b}{2sin\frac{\alpha}{2}}[/tex]
Може би още не сте изучавали тези формули,но до края на 11 клас ще ви ги предадат.

[matst]

Просто [tex]b[/tex] е дължината на хорда за централен ъгъл [tex]\alpha/2[/tex].

[Davids]

Просто [tex]b[/tex] е дължината на хорда за централен ъгъл [tex]\alpha/2[/tex].

За вписан*. Иначе идеята ти е идеална:
Щом дъгата срещу вписан ъгъл $\alpha$ е определена от две отсечки с дължина $b$, то значи вписаният ъгъл срещу дъга, определена от само една отсечка с дължина $b$ е равен на $\frac{\alpha}{2}$. Следователно за всеки вписан в окръжността триъгълник с такъв вписан ъгъл (ще вземем в частност $\Delta ACD$) е в сила синусова теорема:
$\frac{b}{sin\frac{\alpha}{2}} = 2R$, откъдето много бързо, лесно и вкусно си получаваме отговора

[S.B.]

Просто [tex]b[/tex] е дължината на хорда за централен ъгъл [tex]\alpha/2[/tex].

За вписан*. Иначе идеята ти е идеална:
Щом дъгата срещу вписан ъгъл $\alpha$ е определена от две отсечки с дължина $b$, то значи вписаният ъгъл срещу дъга, определена от само една отсечка с дължина $b$ е равен на $\frac{\alpha}{2}$. Следователно за всеки вписан в окръжността триъгълник с такъв вписан ъгъл (ще вземем в частност $\Delta ACD$) е в сила синусова теорема:
$\frac{b}{sin\frac{\alpha}{2}} = 2R$, откъдето много бързо, лесно и вкусно си получаваме отговора

И още по-просто:От чертежа [tex]\triangle[/tex]DBC е равнобедрен и [tex]\angle[/tex]CDB = [tex]\frac{180^\circ - (180^\circ - \alpha)}{2}[/tex] = [tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]Но този триъгълник е вписан в същата окръжност и по син.теорема :2R = [tex]\frac{b}{sin\frac{\alpha}{2}}[/tex] от където[tex]\Rightarrow[/tex] R = [tex]\frac{b}{2sin\frac{\alpha}{2}}[/tex]