Триъгълник. Медицентър

[Гост]

1.Точката М е медицентър на [tex]\triangle[/tex]ABC, а точката P лежи върху страната AB, като AP:PB=2:1. Отношението на лицата на триъгълниците BMP и ABC е равно на ?

2. В правоъгълен триъгълник ABC (C=90 градуса), на който AB=2\sqrt{13}, CH=\frac{12\sqrt{13}}{13}, CH\botAB, AC<BC, дължината на AC е ?

[Гост]

2. В правоъгълен триъгълник ABC (C=90 градуса), на който AB=2[13]\sqrt{x}[/tex], CH=12[13]\sqrt{x}[/tex]/13, CH е перпендикулярно на AB, AC<BC, дължината на AC е ?

[Гост]

2 зад.Не се разбира колко са дълги дадените АВ,СН.Опиши числата с думи.

[Гост]

AB=2по корен втори от 13, CH= 12по корен втори от 13 върху 13

[Петър Евгениев]

Здравей. 1.Неща, които трябва да знаеш:Медицентъра дели медианата в отношение 2:1 считано от върха. Подобие на триъгълници.
Ще кача чертеж след малко.(В случай, че не го виждаш сега).
Дадено:[tex]\triangle ABC, CM_{1}\cap AM_{2}\cap BM_{3}=M[/tex], медицентър [tex]\rightarrow CM:MM_{1}=2:1, AM:MM_{2}=2:1, BM:MM_{3}=2:1[/tex].
[tex]P\in AB ,AP:PB=2:1[/tex], търсим:[tex]\frac{S_{PBM}}{S_{ABC}}[/tex]
Означения:Спускам височината на [tex]\triangle ABC, h_{1}=CH_{1}\bot AB[/tex] и височината на [tex]\triangle PBM, h_{2}=MH_{2}\bot AB[/tex](тази височина излиза от триъгълника, защото... ти ще кажеш защо)
Как? Ще изразя двете лица по подобен начин, така че да намеря отношение на елентите, с които намирам лицата(височина, основа т.н).
От това, че:[tex]\frac{AP}{PB}=\frac{2}{1} \rightarrow AP=2x, PB=x[/tex] и това, че:[tex]AP+PB=AB \rightarrow 2x+x=AB, AB=3x[/tex]
$$S_{ABC}=\frac{AB.h_{1}}{2}=\frac{3x.h_{1}}{2}=\frac{3x}{2}.h_{1}$$
$$S_{BPM}=\frac{PB.h_{2}}{2}=\frac{x.h_{2}}{2}=\frac{x}{2}.h_{2}$$
От тук: [tex]\frac{S_{BMP}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{x}{2}.h_{2}}{\frac{3x}{2}.h_{1}}[/tex], остана да намеря отношението на двете височини [tex]h_{1}:h_{2}[/tex](респективно най-трудната част)
Нека разгледаме [tex]\triangle M_{1}MH_{2}[/tex] и [tex]\triangle M_{1}CH_{1}[/tex]
[tex]1)\angle MM_{1}P[/tex]-общ
[tex]2)\angle M_{1}H_{2}M=\angle M_{1}H_{1}C=90^\circ[/tex]
От тук сме доказали подобието. [tex]\triangle M_{1}MH_{2} \sim \triangle M_{1}CH_{1}[/tex]
Коефициент на подобие:
$$k=\frac{M_{1}H_{2}}{M_{1}H_{1}}=\boxed{\frac{h_{2}}{h_{1}}=\frac{M_{1}M}{CM_{1}}}$$
$$\frac{h_{2}}{h_{1}}=\frac{M_{1}M}{CM_{1}} \rightarrow \frac{h_{2}}{h_{1}}=\frac{1}{3}$$
Сега се връщаме към отношението на лицата:[tex]\frac{S_{BMP}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{x}{2}.h_{2}}{\frac{3x}{2}.h_{1}}=\frac{\frac{x}{2}}{\frac{3x}{2}}.\frac{h_{2}}{h_{1}}[/tex], но вече знаем отношението на височините:[tex]\frac{h_{2}}{h_{1}}=\frac{1}{3}[/tex] и го заместваме.
$$\frac{S_{BMP}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{x}{2}}{\frac{3x}{2}}.\frac{1}{3}=\frac{\cancel{x}}{\cancel{2}}.\frac{\cancel{2}}{3\cancel{x}}.\frac{1}{3}=\boxed{\frac{1}{9}}$$

[Петър Евгениев]

Задача 2. В тепсия са ти дали височината и основата на правоъгълен триъгълник.(+това урока ти е за лица тъй, че лица ще изпозлвам)
Изразяване на лицето на триъгълник по два начина.(Се основни задачи)
Дадено:[tex]\triangle ABC, \angle BCA=90^\circ,H\in AB, CH\bot AB, CH=\frac{12\sqrt{13}}{13}, AB=2\sqrt{13}, AC<BC[/tex]
Търсим:[tex]AC=?[/tex]
$$S_{ABC}=\frac{2\sqrt{13}.12.\sqrt{13}}{2.13}=12$$
Хайде лицето по още един начин, катет по катет върху две.
$$S_{ABC}=\frac{AC.BC}{2}$$
Обаче, можем да ги изравним, защото са едно и също нещо все пак.
$$12=\frac{AC.BC}{2} \Rightarrow AC.BC=24$$
Изразавам единия катет чрез другия и правя питагорова теорема.
[tex]BC=\frac{24}{AC}[/tex]
Питагоровата теорема.
$$AC^{2}+(\frac{24}{AC})^{2}=(2\sqrt{13})^{2}$$
$$AC^{2}+\frac{576}{AC^{2}}=4.13|.AC^{2} \Rightarrow AC^{4}-52AC^{2}+576=0$$
Решваш това биквадратно уравнение за [tex]AC[/tex], с полагане и после квадратно.(пиши, ако не можеш ,защото съм сигурен, че ще ми направят забележка и без туй, че не съм го решил или, че няма чертеж, при положение ,че при тази задача не е необходим, можеш да си го направиш)
Получава се, че[tex]AC=-6, AC=-4, AC=4, AC=6[/tex],но [tex]AC[/tex] e страна на триъгълниик значи е положително число
Кандидати са: [tex]AC=4[/tex] и [tex]AC=6[/tex]
Връщаме се, където изразихме единия катет чрез другия:[tex]BC=\frac{24}{AC}[/tex] и заместваме получените кандидати.
[tex]AC=4 \rightarrow BC=\frac{24}{4}=6[/tex]
[tex]AC=6 \rightarrow BC=\frac{24}{6}=4[/tex]
Но от условието имаме [tex]AC<BC[/tex], тогава [tex]AC=4<BC=6[/tex]

[ева]

2 зад. (2-начин)
СН=[tex]\frac{12\sqrt{13}}{13}[/tex]=[tex]\frac{12}{\sqrt{13}}[/tex]
Нека АН=у,АС=х=?
[tex]\triangle[/tex]АВС-правоъг. [tex]СН^{2}[/tex]=АН.ВН т.е. [tex]\frac{144}{13}[/tex]=у(2[tex]\sqrt{13}[/tex]-у)
13[tex]у^{2}[/tex]-2(13[tex]\sqrt{13}[/tex])у+144=0 D=169.13-144.13=25.13>0

[tex]у_{1,2 }[/tex]=[tex]\frac{13\sqrt{13}\pm5\sqrt{13}}{13}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]у_{1 }[/tex]=[tex]\frac{8\sqrt{13}}{13}[/tex]=[tex]\frac{8}{\sqrt{13}}[/tex] или [tex]у_{2 }[/tex]=[tex]\frac{18}{\sqrt{13}}[/tex]
от АС<ВС [tex]\Rightarrow[/tex] АН<ВН т.е. у<2[tex]\sqrt{13}[/tex]-у ;трябва у<[tex]\sqrt{13}[/tex] отг.[tex]у_{2 }[/tex]-отпада

[tex]\triangle[/tex]АНС-правоъг. [tex]x^{2}[/tex]=[tex]у^{2}[/tex]+[tex]СН^{2}[/tex] ;[tex]x^{2}[/tex]=[tex]\frac{64}{13}[/tex]+[tex]\frac{144}{13}[/tex]=[tex]\frac{208}{13}[/tex]=16 [tex]\Rightarrow[/tex] х=[tex]\sqrt{16}[/tex] и х>0 [tex]\Rightarrow[/tex] х=4