Триъгълник

[Гост]

1. Ако в равностранен триъгълник е вписан квадрат със страна а, то дължината на страната на триъгълника е?
2.Средното аритметично на 50 числа е а. Ако всяко от числата се намали с 10, то средната аритметично а ще се ?

[S.B.]

Зад.1:Даден е [tex]\triangle[/tex]ABC - равностранен,в него е вписан квадрат MNPQ ,като M и N лежат на AB, P[tex]\in[/tex]BC , a Q[tex]\in[/tex]AC;
Квадрата има страна = a,a триъгълника - страна = х;
[tex]\triangle[/tex]PQC също е равностранен - PQ II AB [tex]\rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]QPC =60[tex]^\circ[/tex],[tex]\angle[/tex]C= 60[tex]^\circ[/tex].Тогава PQ = QC = PC = a [tex]\rightarrow[/tex]BP = x - a;
[tex]\triangle[/tex]NBP е правоъгълен и [tex]\angle[/tex]B = 60[tex]^\circ[/tex] [tex]\rightarrow[/tex][tex]\frac{NP}{BP}[/tex]= sin60[tex]^\circ[/tex] или NP = BP.sin60[tex]^\circ[/tex] ;
NP = a (страна на квадрата),BP = x - a и тогава получаваме: а = (х - а).[tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex] от където след преработка се получава:
х.[tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex] = а.(1 + [tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]) [tex]\Rightarrow[/tex] х = [tex]\frac{a(2 + \sqrt{3})}{\sqrt{3}}[/tex].А ако решиш да рационализираш за да има по -приличен вид получаваш ,че страната на триъгълника е : х = [tex]\frac{a(2\sqrt{3} + 3)}{3}[/tex]

[Davids]

2.Средното аритметично на 50 числа е а. Ако всяко от числата се намали с 10, то средната аритметично а ще се ?

То всъщност още от дефиницията за средно аритметично веднага се вижда... ще намалее и то с 10. Точно защото всички елементи от множеството ще направят същото. Нека го докажем:
Ако сумата на педесетте числа е $s$, то имаме $a = \frac{s}{50}$.
Нека сега всяко число намалим с 10. Тогава новото средно аритметично на числата става $a_2 = \frac{s - 50.10}{50} = \frac{s}{50} - 10 = a - 10$, т.е. с 10 по-малко от предходното.