Тригонометрия в планиметрията

[leloli]

Квадрат ABCD е вписан в окръжност. Нека точка F е от по-малката дъга АВ, като AF < FB. Да се намери тангенсът на ъгъл FAB, ако Sabcd = 10 Safb.
Благодаря предварително

[ева]

[tex]\frac{1}{2}[/tex] ли е отговора ?

[Davids]

Kvadrat.png (227.87 KiB) Прегледано 275 пъти

От отношението на лицата на триъгълника $\Delta ABF$ и квадрата имаме:
$S_{ABF} = \frac{xysin135^{\circ}}{2} = \frac{a^2}{10} \Rightarrow \boxed{xy = \frac{a^2\sqrt{2}}{5}}$
Отделно радиуса на окръжността е равен на $R = \frac{\sqrt{2}a}{2}$ и по синусова теорема за $\Delta AFB$ имаме:
$\frac{x}{sin\alpha} = 2R \Rightarrow x = \sqrt{2}asin\alpha$
Аналогично $y = \sqrt{2}asin(45^{\circ} - \alpha)$
Следователно от тези две уравнения получаваме $\boxed{xy = 2a^2sin\alpha sin(45^{\circ} - \alpha)}$

Приравняваме двете оградени уравнения и получаваме:
$xy = \frac{\cancel{a^2}\sqrt{2}}{5} = 2\cancel{a^2}sin\alpha sin(45^{\circ} - \alpha)$

Разлагаме по формулата за синус от разлика:
$\Rightarrow \sqrt{2} = 10sin\alpha.\frac{1}{\sqrt{2}}(cos\alpha - sin\alpha)$
$1 = 5sin\alpha cos\alpha - 5sin^2\alpha$

Единицата ще представим като $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$ и получаваме:
$6sin^2\alpha - 5sin\alpha cos\alpha + cos^2\alpha = 0$

Сега прилагаме един добър стар трик за решаване на хомогенни тригонометрични уравнения от този вид - делим двете страни на $cos^2\alpha \ne 0 \Rightarrow \alpha \ne k\pi$ (което така или иначе е изпълнено за нашия остър ъгъл) и получаваме:
$6tg^2\alpha - 5tg\alpha + 1 = 0$
Решения са $tg\alpha = \frac{1}{2}$ и $tg\alpha = \frac{1}{3}$. Но кое от тях е вярното? Ще трябва да се подсигурим:
По условие имаме, че $x > y$, следователно $\frac{x}{y} > 1$. Но от синусова теорема за $\Delta ABF$ имаме, че $\frac{x}{y} = \frac{sin\alpha}{sin(45^{\circ} + \alpha)} > 1$
Развиваме неравенството:
$sin\alpha > \frac{1}{\sqrt{2}}(cos\alpha - sin\alpha)$
$\sqrt{2}sin\alpha > cos\alpha - sin\alpha$
$(\sqrt{2} + 1)sin\alpha > cos\alpha$
$tg\alpha > \frac{1}{1 + \sqrt{2}}$

Рационализираме знаменателя и достигаме до:
$tg\alpha > \sqrt{2} - 1 \approx 0,41$

Тоест, окончателно само $tg\alpha = \frac{1}{2} > 0,41$ е решение на задачата

[ева]

2 начин
През т. F построяваме права успоредна на AD,която пресича АВ,[tex]\widehat{CD}[/tex] в т.Н и т.Т.
S(ABCD)=10S(AFB) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]a^{2}[/tex]=10[tex]\frac{a.FH}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] FH=[tex]\frac{a}{5}[/tex] (1)
([tex]\triangle[/tex]AFH) tg[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{FH}{AH}[/tex] (2) Трябва да изразим АН чрез- а.
FH.TH=AH.BH [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{a}{5}[/tex](a+[tex]\frac{a}{5}[/tex])=AH(a-AH) ...25[tex]AH^{2}[/tex]-(25a)AH+6[tex]a^{2}[/tex]=0 ;D=625[tex]a^{2}[/tex]-4.25.6[tex]a^{2}[/tex]=25[tex]a^{2}[/tex]
[tex]AH_{1,2 }[/tex]=[tex]\frac{25a\pm5a}{50}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]AH_{1 }[/tex]=[tex]\frac{3a}{5}[/tex] , [tex]AH_{2 }[/tex]=[tex]\frac{2a}{5}[/tex] (3)
AF<FB [tex]\Rightarrow[/tex] AH<BH - A[tex]H_{1 }[/tex] отпада
зам.(3) в (2) tg[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{\frac{a}{5}}{\frac{2a}{5}}[/tex]=[tex]\frac{1}{2}[/tex]