Ромб

[Гост]

Зад номер 23.57 и номер 23.58 моля ви помощ!!!

[123a]

23.57

Има грешка в условието. Ъглополовящата пресича BD, а не BC.

$ACED$- ромб. AE- ъглополвяща. [tex]\triangle[/tex]$DEC$,$\triangle$$AEB$- равнобедрени.

$\angle$$DAE$=$\angle$$AEB$=$\angle$$DCE$=$\angle$$EAB$=$\alpha$

$AD=CD=CE=AE=x, AB=BE=y$

$\angle$$ADC$=$\angle$$ABE$=$180-\alpha$

По условие $\frac{R}{r}=\frac{3}{2}(*)$

Разглеждаме $\triangle$$DEC$

$\frac{x}{cos(\frac{\alpha}{2})}=2R=>R=\frac{x}{2.cos(\frac{\alpha}{2})}$


В $\triangle$$EAB$

$\frac{x}{sin2\alpha}=\frac{y}{sin\alpha}=>y=\frac{x}{2cos\alpha} (1)$

$S_{EAB}=\frac{y^2.sin2\alpha}{2}$. Заместваме (1) и получаваме, че $S_{EAB}=\frac{x^2.tg\alpha}{4}(2)$
Същото това лице от друга страна е равно на $S=p.r(3)$ Имаме трите страни и намираме, че $p=\frac{2y+x}{2}$ И тук заместваме (1) и получаваме, че $p=\frac{x.(cos\alpha+1)}{2cos\alpha}$
Сега приравняваме $(2)$и $(3)$ и получаваме, че $r=\frac{x.sin\alpha}{2.(cos\alpha+1)}$

Връщаме се в $(*)$ и получаваме $\frac{x.2(cos\alpha+1)}{2.cos(\frac{\alpha}{2}).x.sin\alpha}=\frac{3}{2}$

След съкращаване и малко сметки, получаваме уравнението $2cos^2(\frac{\alpha}{2})-3.cos^2(\frac{\alpha}{2}).sin(\frac{\alpha}{2})=0$
Единствено решение, което върши работа е $sin(\frac{\alpha}{2})=\frac{2}{3}$ От тук лесно намираме, че $cos\alpha=\frac{1}{9}$

Връщаме се в $(1)$ и намираме, че $y=x.\frac{9}{2}=>P_{EAB}=2.x.\frac{9}{2}+x=10x$.

От синусова теорема за $DEC$ намираме, че $DE=2x.sin(\frac{\alpha}{2})=\frac{4x}{3}=>P_{DEC}=\frac{10x}{3}$


$\frac{P_{ECD}}{P_{AEB}}=\frac{10x}{3.10x}=\frac{1}{3}$

[123a]

23.58 е лека. Нека О e центърът на вписаната окръжност. Тогава [tex]\angle[/tex]$AOB=90+\frac{\gamma}{2}$ Намери AB, после радиуса на вписаната окръжност, след това Питагорова теорема в триъгълниците BON и AOP, N и P са допирните точки на окръжността с BC И AC съответно. $CN=CP=x$. Накрая приложи една косинусова теорема за триъгълник ABC след като намериш BN и AP.

[ева]

Ако не се лъжа,зад.23.59 я има решена.Виж заглавие-Тригонометрия в планиметрията (писано на 11 април в 17:21 ч.-10 клас)