тригонометрия

[Гост]

Докажете тъждеството [tex]\frac{(1+cos\alpha)(1+cos2\alpha)}{sin2\alpha cos\alpha}=cotg\frac{\alpha}{2}[/tex]

[S.B.]

[tex]\frac{(1 + cos\alpha)(1 + cos2\alpha)}{sin2\alpha.cos\alpha}[/tex] = [tex]\frac{2cos^{2}\frac{\alpha}{2}2cos^{2}\alpha}{2sin\alpha.cos^{2}\alpha}[/tex] =[tex]\frac{2cos^{2}\frac{\alpha}{2}}{sin\alpha}[/tex] = [tex]\frac{2cos^{2}\frac{\alpha}{2}}{2sin\frac{\alpha}{2}.cos\frac{\alpha}{2}}[/tex] = [tex]\frac{cos\frac{\alpha}{2}}{sin\frac{\alpha}{2}}[/tex] = cotg[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]
Или доказахме,че [tex]\frac{(1 + cos\alpha)(1 + cos2\alpha)}{sin2\alpha.cos\alpha}[/tex] = cotg[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]

[Knowledge Greedy]

Обръщам внимание на една езикова неточност. При всичкото ми уважение към старите авторитети, които са ни съставили задачата, формулировката ѝ трябва да бъде:
"Докажете, че равенството [tex]\frac{(1+cosα)(1+cos2α)}{sin2αcosα}=cotg\frac{α}{2}[/tex] е тъждество.".

Алтернативна формулировка може да е:
"Дадено е тъждеството [tex]\frac{(1+cosα)(1+cos2α)}{sin2αcosα}=cotg\frac{α}{2}[/tex], ... [tex]^{*}[/tex]. Докажете това тъждество".
_____________
Да се върнем на оригиналната формулировка.[tex]^{**}[/tex]
Докажете тъждеството [tex]\frac{(1+cosα)(1+cos2α)}{sin2αcosα}=cotg\frac{α}{2}[/tex]
Един тийнейджър, за когото морето е до колене и който се съмнява във всичко, съвсем основателно ще каже: " Така ли? Как така?! Ами ако заместя в дясната страна с [tex]\alpha=\frac{\pi}{2}[/tex], ще получа [tex]cotg \frac{\pi}{4} = 1[/tex], докато в лявата страна изобщо не мога да заместя - налага се да деля на нула!?".
=============
С това не искам да омаловажа напечатаното от колегата S.B., той добросъвестно и технично е извършил доказателството, само трябва да добавим , че равенството е тъждество в общото дефиниционно множество на всички изрази (функции), участващи в него - в случая [tex]\forall \alpha, \alpha \ne \frac{k\pi}{2}[/tex] - при цели [tex]k[/tex].
Може би сега вече е ясно, какво трябва да има по-горе - на мястото [tex]^{*}[/tex] на червеното многоточие в пълната формулировка.
_____________
[tex]^{**}[/tex] Оригиналната формулировка предполага неистова вяра в казаното от автора на задачата, а той като нас е човек.
Errare humanum est – Човешко е да се греши.

[S.B.]

Обръщам внимание на една езикова неточност. При всичкото ми уважение към старите авторитети, които са ни съставили задачата, формулировката ѝ трябва да бъде:
"Докажете, че равенството [tex]\frac{(1+cosα)(1+cos2α)}{sin2αcosα}=cotg\frac{α}{2}[/tex] е тъждество.".

Алтернативна формулировка може да е:
"Дадено е тъждеството [tex]\frac{(1+cosα)(1+cos2α)}{sin2αcosα}=cotg\frac{α}{2}[/tex], ... [tex]^{*}[/tex]. Докажете това тъждество".
_____________
Да се върнем на оригиналната формулировка.[tex]^{**}[/tex]
Докажете тъждеството [tex]\frac{(1+cosα)(1+cos2α)}{sin2αcosα}=cotg\frac{α}{2}[/tex]
Един тийнейджър, за когото морето е до колене и който се съмнява във всичко, съвсем основателно ще каже: " Така ли? Как така?! Ами ако заместя в дясната страна с [tex]\alpha=\frac{\pi}{2}[/tex], ще получа [tex]cotg \frac{\pi}{4} = 1[/tex], докато в лявата страна изобщо не мога да заместя - налага се да деля на нула!?".
=============
С това не искам да омаловажа напечатаното от колегата S.B., той добросъвестно и технично е извършил доказателството, само трябва да добавим , че равенството е тъждество в общото дефиниционно множество на всички изрази (функции), участващи в него - в случая [tex]\forall \alpha, \alpha \ne \frac{k\pi}{2}[/tex] - при цели [tex]k[/tex].
Може би сега вече е ясно, какво трябва да има по-горе - на мястото [tex]^{*}[/tex] на червеното многоточие в пълната формулировка.
_____________
[tex]^{**}[/tex] Оригиналната формулировка предполага неистова вяра в казаното от автора на задачата, а той като нас е човек.
Errare humanum est – Човешко е да се греши.

Да, така е,за [tex]\forall[/tex][tex]\alpha[/tex][tex]\ne[/tex][tex]\frac{k\pi}{2}[/tex]където k е цяло число

[Гост]

Много ви благодаря. Ето още един пример. Да се докаже ,че [tex]cos4\alpha=sin^{4}\alpha+cos^{4}\alpha-6sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha[/tex] в общото дефиниционно множество на всички тригонометрични функции участващи.
Ако дадете и още хелп за дефиниционното множество, което ме интересува, но когато попитах не ми обясниха...
Благодаря ви предварително!

[Davids]

Много ви благодаря. Ето още един пример. Да се докаже ,че [tex]cos4\alpha=sin^{4}\alpha+cos^{4}\alpha-6sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha[/tex] в общото дефиниционно множество на всички тригонометрични функции участващи.
Ако дадете и още хелп за дефиниционното множество, което ме интересува, но когато попитах не ми обясниха...
Благодаря ви предварително!

В случая имаш само $sin$ и $cos$, които имат идентично дефиниционно множество, а знаменатели нямаш. Така че по допустимите стойности нямаш особена работа в случая - нека се заемем с тъждеството. Ще преобразуваме дясната страна до получаване на лявата:
$sin^4a + cos^4a - 6sin^2acos^2a =$
$= (sin^4a - 2sin^2acos^2a + cos^4a) - 4sin^2acos^2a =$
$= (sin^2a - cos^2a)^2 - (2sinacosa)^2 =$
$= cos^22a - sin^22a =$
$= cos4a$

[Гост]

Много ви благодаря. Ето още един пример. Да се докаже ,че [tex]cos4\alpha=sin^{4}\alpha+cos^{4}\alpha-6sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha[/tex] в общото дефиниционно множество на всички тригонометрични функции участващи.
Ако дадете и още хелп за дефиниционното множество, което ме интересува, но когато попитах не ми обясниха...
Благодаря ви предварително!

В случая имаш само $sin$ и $cos$, които имат идентично дефиниционно множество, а знаменатели нямаш. Така че по допустимите стойности нямаш особена работа в случая - нека се заемем с тъждеството. Ще преобразуваме дясната страна до получаване на лявата:
$sin^4a + cos^4a - 6sin^2acos^2a =$
$= (sin^4a - 2sin^2acos^2a + cos^4a) - 4sin^2acos^2a =$
$= (sin^2a - cos^2a)^2 - (2sinacosa)^2 =$
$= cos^22a - sin^22a =$
$= cos4a$

Ясно. Освен това исках да ви попитам за ДМ на предишното тъждество.
[tex]\begin{array}{|l}sin2\alpha\ne0 \\ cos\alpha\ne0 \end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} 2\alpha\ne k\pi \Rightarrow \alpha\ne\frac{k\pi}{2} \\ \alpha\ne(2k+1)\frac{\pi}{2} \Rightarrow \alpha\ne k\pi+\frac{\pi}{2} \end{array}[/tex]
И сега как става [tex]\alpha\ne\frac{k\pi}{2}[/tex], както каза Knowledge Greedy.

[Davids]

Точно така.

[Гост]

[\quote]Ясно. Освен това исках да ви попитам за ДМ на предишното тъждество.
[tex]\begin{array}{|l}sin2\alpha\ne0 \\ cos\alpha\ne0 \end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} 2\alpha\ne k\pi \Rightarrow \alpha\ne\frac{k\pi}{2} \\ \alpha\ne(2k+1)\frac{\pi}{2} \Rightarrow \alpha\ne k\pi+\frac{\pi}{2} \end{array}[/tex]
И сега как става [tex]\alpha\ne\frac{k\pi}{2}[/tex], както каза Knowledge Greedy.[/quote]

П.П. Аз си мисля така дали е правилно, не знам.
От първото [tex]\alpha\ne\frac{k\pi}{2}\ne k\frac{\pi}{2}[/tex], което включва и четно 90 градусово въртене и нечетно.
А второто [tex]a\ne k\pi\pm \frac{pi}{2}[/tex],само нечетно 90 градусово въртене
Значи първото удовлетворява и двете [tex]\alpha\ne\frac{k\pi}{2}[/tex]
Вярно ли мисля?

[Davids]

Ясно. Освен това исках да ви попитам за ДМ на предишното тъждество.
[tex]\begin{array}{|l}sin2\alpha\ne0 \\ cos\alpha\ne0 \end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} 2\alpha\ne k\pi \Rightarrow \alpha\ne\frac{k\pi}{2} \\ \alpha\ne(2k+1)\frac{\pi}{2} \Rightarrow \alpha\ne k\pi+\frac{\pi}{2} \end{array}[/tex]
И сега как става [tex]\alpha\ne\frac{k\pi}{2}[/tex], както каза Knowledge Greedy.

П.П. Аз си мисля така дали е правилно, не знам.
От първото [tex]\alpha\ne\frac{k\pi}{2}\ne k\frac{\pi}{2}[/tex], което включва и четно 90 градусово въртене и нечетно.
А второто [tex]a\ne k\pi\pm \frac{pi}{2}[/tex],само нечетно 90 градусово въртене
Значи първото удовлетворява и двете [tex]\alpha\ne\frac{k\pi}{2}[/tex]
Вярно ли мисля?

Дам. По-вярно няма накъде. Но си е частен случай, трябва си да се реши докрай. Просто се радваме, че могат да се обобщят приятно двете решения