Ромб

[Гост]

1.Даден е ромб с лице 24 квадратни cm и сбор от дължините на диагоналите му 14 cm. Да се намерят дължините на страната на ромба и лицето на вписания в него кръг.

2.Кодът на куфар се състои от четири различни нечетни цифри. Най- големият брой опити, които трябва да се направят, за да се открие кодът на този куфар, е ?

3. В един клас има 14 момчета и 12 момичета. Избират се 5 ученици за участие във викторина. Каква е вероятността в групата да има 3 момчета и 2 момичета?

[Петър Евгениев]

2.Нечетните чифри са:[tex]1,3,5,7,9[/tex]
[tex]5.5.5.5=5^{4}=625[/tex],За първата цифра от комбинацията от 4 цифри имаш да избираш измежду: [tex]1,3,5,7,9[/tex] т.е 5, за втората също тъй като няма ограничение да не са еднакви цифрите както и за 3-тата и 4-тата.
Т.е най-много [tex]625[/tex] опита.

[Hephaestus]

[tex]1.[/tex] За всеки ромб със страна [tex]a[/tex] и диагонали [tex]d_{1 },d_{2 }[/tex] е изпълнено [tex]4a^{2} = d_{1 } ^{2} + d_{2 } ^{2}[/tex]. Формулата можем да я преобразуваме: [tex]4a^{2} = d_{1 } ^{2} + d_{2 } ^{2} = (d_{1 } + d_{2 })^{2} - 2d_{1 }d_{2 } = (d_{1 } + d_{2 })^{2} - 4S[/tex]

По условие [tex]d_{1 } + d_{2 } = 14, S = 24 cm[/tex]. Тогава [tex]4a^{2} = (d_{1 } + d_{2 })^{2} - 4S = 196 - 96 = 100 \Rightarrow a^{2} = 25 \Rightarrow a = 5 cm[/tex]. Радиусът [tex]r[/tex] на вписан в ромба кръг е равен на половината от височината. Намираме височината на ромба:
[tex]S = a.h \Rightarrow h = \frac{S}{a} = \frac{24}{5} cm[/tex]. Тогава [tex]r = \frac{12}{5} cm[/tex] и [tex]S_{кръг} = \pi r^{2} = \frac{144\pi}{25} cm^{2}[/tex].

За втората задача подходът е точно този, който е описан от Петър Евгениев

...първата цифра от комбинацията от 4 цифри имаш да избираш измежду: [tex]1,3,5,7,9[/tex] т.е 5, за втората също тъй като няма ограничение да не са еднакви цифрите както и за 3-тата и 4-тата...

със забележката, че всъщност има ограничение, понеже в условието пише, че са четири различни нечетни цифри - затова за първата цифра от четирицифрения код изборът е между 5 нечетни цифри (1,3,5,7,9), за втората изборът вече трябва да е измежду другите нечетни цифри, без вече избраната за първата позиция, т.е. 4 възможности, за третата - 3 възможности (всички без вече избраните две нечетни цифри) и за последната цифра остава избор само между 2 нечетни цифри, т.е. след най-много [tex]5.4.3.2 = 120[/tex] опита може да се разбие кодът на куфара.

[tex]3.[/tex] Общо в класа има [tex]14 + 12 = 26[/tex] ученици. Петима от общо 26 ученици могат да се изберат по [tex]C_{26 } ^{5} = 65780[/tex] начина.
По [tex]C_{14 } ^{3} = 364[/tex] начина може да се изберат 3 от 14 момчета.
По [tex]C_{12 } ^{2} = 66[/tex] начина може да се изберат 2 от 12 момичета.
Тогава търсената вероятност е [tex]P = \frac{C_{14 } ^{3}.C_{12 } ^{2}}{C_{26 } ^{5}} = \frac{364.66}{65780} = \frac{42}{115}[/tex].

[Петър Евгениев]

[tex]1.[/tex] За всеки ромб със страна [tex]a[/tex] и диагонали [tex]d_{1 },d_{2 }[/tex] е изпълнено [tex]4a^{2} = d_{1 } ^{2} + d_{2 } ^{2}[/tex]. Формулата можем да я преобразуваме: [tex]4a^{2} = d_{1 } ^{2} + d_{2 } ^{2} = (d_{1 } + d_{2 })^{2} - 2d_{1 }d_{2 } = (d_{1 } + d_{2 })^{2} - 4S[/tex]

По условие [tex]d_{1 } + d_{2 } = 14, S = 24 cm[/tex]. Тогава [tex]4a^{2} = (d_{1 } + d_{2 })^{2} - 4S = 196 - 96 = 100 \Rightarrow a^{2} = 25 \Rightarrow a = 5 cm[/tex]. Радиусът [tex]r[/tex] на вписан в ромба кръг е равен на половината от височината. Намираме височината на ромба:
[tex]S = a.h \Rightarrow h = \frac{S}{a} = \frac{24}{5} cm[/tex]. Тогава [tex]r = \frac{12}{5} cm[/tex] и [tex]S_{кръг} = \pi r^{2} = \frac{144\pi}{25} cm^{2}[/tex].

За втората задача подходът е точно този, който е описан от Петър Евгениев

...първата цифра от комбинацията от 4 цифри имаш да избираш измежду: [tex]1,3,5,7,9[/tex] т.е 5, за втората също тъй като няма ограничение да не са еднакви цифрите както и за 3-тата и 4-тата...

със забележката, че всъщност има ограничение, понеже в условието пише, че са четири различни нечетни цифри - затова за първата цифра от четирицифрения код изборът е между 5 нечетни цифри (1,3,5,7,9), за втората изборът вече трябва да е измежду другите нечетни цифри, без вече избраната за първата позиция, т.е. 4 възможности, за третата - 3 възможности (всички без вече избраните две нечетни цифри) и за последната цифра остава избор само между 2 нечетни цифри, т.е. след най-много [tex]5.4.3.2 = 120[/tex] опита може да се разбие кодът на куфара.

[tex]3.[/tex] Общо в класа има [tex]14 + 12 = 26[/tex] ученици. Петима от общо 26 ученици могат да се изберат по [tex]C_{26 } ^{5} = 65780[/tex] начина.
По [tex]C_{14 } ^{3} = 364[/tex] начина може да се изберат 3 от 14 момчета.
По [tex]C_{12 } ^{2} = 66[/tex] начина може да се изберат 2 от 12 момичета.
Тогава търсената вероятност е [tex]P = \frac{C_{14 } ^{3}.C_{12 } ^{2}}{C_{26 } ^{5}} = \frac{364.66}{65780} = \frac{42}{115}[/tex].

Смятай колко съм разсеян