Планиметрия

[Гост]

23.60 и 23.61 помощ!!! Моля!!

[Петър Евгениев]

23.60. Слагам чертежа да улесня човека, който ще я реши, ако се сетя и не е решена ще я напиша... сега няма да спя цяла нощ само за това ще си мисля краста и половина.

[Гост]

Не мога да я реша моля да опиташ

[123a]

23.61
Нека височината е CD и тази права пресича АС в точка Е , а височината в т.Н.
[tex]\frac{BD}{cos\beta}[/tex]=$\frac{CD}{sin\beta}=>CD=BD.tg\beta(1)$

$\frac{AD}{cos\alpha}=\frac{CD}{sin\alpha}=>CD=AD.tg\alpha(2)$

$\frac{AD}{BD}=\frac{tg\beta}{tg\alpha}=>\frac{AB}{BD}=\frac{tg\alpha+tg\beta}{tg\alpha}=\frac{(sin\alpha.cos\beta+sin\beta.cos\alpha)cos\alpha}{cos\alpha.cos\beta.sin\alpha}=\frac{sin(\alpha+\beta)}{sin\alpha.cos\beta}$

От Теoрeмaта на Менелай за триъгълник ADС и правата ВE имаме, че $\frac{AB}{BD}.\frac{DH}{HC}.\frac{CE}{EA}=1=>\frac{AB}{BD}=\frac{EA}{CE}$

Търсеното отношение е $\frac{CE}{EA}=>\frac{CE}{EA}=\frac{sin\alpha.cos\beta}{sin(\alpha+\beta)}$

Другата ще я погледна по-късно, ако имам време.

[Hephaestus]

[tex]23.60.[/tex] Ще използвам удобния чертеж на Петър Евгениев.

Също така да означим центъра на окръжността с [tex]O[/tex] и нека [tex]AB = x[/tex].

Тогава за катетите в [tex]\triangle ABC (\angle C = 90^\circ)[/tex] имаме [tex]BC = xsin\alpha[/tex] и [tex]AC = xcos\alpha[/tex]. Тъй като точките M,N,A,B лежат на окръжността и [tex]MN || AB[/tex], то [tex]MNBA[/tex] e равнобедрен трапец. Височината на [tex]\triangle ABC[/tex], спусната от върха [tex]C[/tex] към [tex]AB[/tex], е равна на височината [tex]HA[/tex] на трапеца.
Изразяваме [tex]HA[/tex] чрез зависимостта в правоъгълния триъгълник [tex]\triangle ABC:[/tex]

[tex](2S_{ABC} = )[/tex] [tex]AB.HA = BC.AC \Rightarrow HA = \frac{BC.AC}{AB} = \frac{x^{2}sin\alpha cos\alpha}{x} = xsin\alpha cos\alpha[/tex].

Перпендикулярът от центъра [tex]O[/tex] до хордата [tex]AB[/tex] я разполовява (от известното свойство), т.е. [tex]HO = \frac{AB}{2} = \frac{x}{2}[/tex].
От теоремата на Питагор, приложена за [tex]\triangle AHO (\angle AHO = 90^\circ),[/tex] следва, че [tex]AO^{2} = HA^{2} + HO^{2} \Rightarrow[/tex]

[tex]R^{2} = x^{2}sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha + \frac{x^{2}}{4} \Rightarrow 4R^{2} = x^{2}(4sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha + 1)
\Rightarrow x^{2} = \frac{4R^{2}}{4sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha + 1} = \frac{4R^{2}}{sin^{2}2\alpha + 1}[/tex]

Следователно [tex]S_{ABC } = \frac{AC.BC}{2} = \frac{x^{2}sin\alpha cos\alpha}{2} = \frac{4R^{2}sin\alpha cos\alpha}{2(sin^{2}2\alpha + 1)} = \frac{R^{2}.2sin\alpha cos\alpha}{sin^{2}2\alpha + 1} = \frac{R^{2}sin2\alpha}{sin^{2}2\alpha + 1}[/tex].

[S.B.]

Зад.23.61:[tex]\triangle[/tex]ABC,CD[tex]\bot[/tex]AB,т.М[tex]\in[/tex]CD,така,че CM=MD,правата BM X AC в т.N;[tex]\angle[/tex]BAC = [tex]\alpha[/tex] , [tex]\angle[/tex]ABC = [tex]\beta[/tex];Да се изрази : [tex]\frac{S_{ BNC}}{S_{BNA }}[/tex]
[tex]S_{BNC }[/tex] = [tex]\frac{NC.BC.sin[180 -(\alpha + \beta)]}{2}[/tex] , a [tex]S_{BNA }[/tex] = [tex]\frac{AN.AB.sin\alpha}{2}[/tex]
[tex]\frac{S_{BNC }}{S_{BNA }}[/tex] = [tex]\frac{NC.BC.sin(\alpha + \beta)}{AN.AB.sin\alpha}[/tex] =[tex]\frac{NC}{AN}[/tex] . [tex]\frac{BC}{AB}[/tex] . [tex]\frac{sin(\alpha + \beta)}{sin\alpha}[/tex] ; Ще изразим отношенията [tex]\frac{NC}{AN}[/tex] и [tex]\frac{BC}{AB}[/tex] :
1)[tex]\frac{BC}{AB}[/tex] : от синусова теорема : [tex]\frac{CB}{sin\alpha}[/tex] = [tex]\frac{AB}{sin[180 - (\alpha + \beta)}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{CB}{AB}[/tex] = [tex]\frac{sin\alpha}{sin(\alpha + \beta)}[/tex];
2)[tex]\frac{NC}{AN}[/tex] : от теоремата на Менелай :[tex]\frac{АB}{BD}[/tex] . [tex]\frac{DM}{MC}[/tex] . [tex]\frac{NC}{AN}[/tex] = 1 , но DM=MC [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{AB}{BD}[/tex] . [tex]\frac{NC}{AN}[/tex] = 1 от където [tex]\frac{NC}{AN}[/tex] = [tex]\frac{BD}{AB}[/tex]
Ще изразим BD и АB: От [tex]\triangle[/tex]DBC: DB = CD.cotg[tex]\beta[/tex] ;От [tex]\triangle[/tex]АDC : AD = CD.cotg[tex]\alpha[/tex]; AB = AD + BD = CD(cotg[tex]\alpha[/tex] + cotg[tex]\beta[/tex])
и тогава [tex]\frac{NC}{NA}[/tex] = [tex]\frac{BD}{AB}[/tex] = [tex]\frac{CD.cotg\alpha}{CD(cotg\alpha + cotg\beta)}[/tex] = [tex]\frac{cotg\alpha}{cotg\alpha + cotg\beta}[/tex]
[tex]\frac{S_{BNC }}{S_{BNA }}[/tex] = [tex]\frac{cotg\alpha}{cotg(\alpha + \beta)}[/tex] . [tex]\frac{sin\alpha}{sin(\alpha + \beta)}[/tex] . [tex]\frac{sin(\alpha + \beta)}{sin\alpha}[/tex] = [tex]\frac{cotg\alpha}{cotg\alpha + cotg\beta}[/tex] = [tex]\frac{\frac{sin\alpha}{cos\alpha}}{\frac{sin\alpha.cos\beta + sin\beta.cos\alpha}{cos\alpha.cos\beta}}[/tex] = [tex]\frac{sin\alpha.cos\beta}{sin(\alpha + \beta)}[/tex]