Лице на трапец

[S.B.]

Даден е трапец ABCD с бедрa AD = 10 и BC = 16.Ъгълът между диагоналите е 90[tex]^\circ[/tex] ,а между бедрата е 60[tex]^\circ[/tex].Да се намери лицето на трапеца.

[Davids]

Аз ли нещо бъркам или наистина се получава подозрително лесно и ъгълът между бедрата дори не ни е нужен?
Ако построим успоредник на Петерсън $DBC_1C$, където $CC_1 || BD$ и $C_1 \in AB$, то получаваме равнолицев с трапеца правоъгълен триъгълник с дадени два катета, откъдето цялото лице е $S = \frac{10.16}{2} = 80cm^2$... Триъгълникът e равнолицев нали, защото също $S = \frac{AC_1.h}{2} = \frac{a + b}{2}.h$
Нещо май не е наред

[S.B.]

Забележи,че AD и BC са бедрата ,а не диагоналите.

[Davids]

Забележи,че AD и BC са бедрата ,а не диагоналите.

Много съм загубен, ей... Защо така съм се заблудил, идея нямам

[S.B.]

Забележи,че AD и BC са бедрата ,а не диагоналите.

Много съм загубен, ей... Защо така съм се заблудил, идея нямам

Че не си загубен е сигурно,но ...пролет е...може би си влюбен?!

[123a]

Построяваме през върха D успоредна на бедрото ВС. Нека тази права пресича основата АВ в т. К. Тогава

$DK^2=(a-b)^2=256+100-2.16*10*cos60=196$

$S_{ADK}=16.10.sin60.\frac{1}{2}=h.(a-b).\frac{1}{2}=h=\frac{40\sqrt{3}}{7}$

От перпендикулярните диагонали имаме $a^2+b^2=256+100=>(a-b)^2+2ab=356=>2ab=356-196=>ab=80$

$(a+b)^2-2ab=356$$=>(a+b)^2=516=>a+b=2\sqrt{129}$

$S=\frac{a+b}{2}.h=>S=\sqrt{129}.\frac{40\sqrt{3}}{7}=\frac{40.\sqrt{3}.\sqrt{3}.\sqrt{43}}{7}=\frac{120\sqrt{43}}{7}$

[Davids]

Получих точно същия отговор, но по забележително по-дълъг начин... парадоксално, единственото различие е следното:

От перпендикулярните диагонали имаме $a^2+b^2=256+100=>(a-b)^2+2ab=356=>2ab=356-196=>ab=80$

Ще може ли да обясниш как точно изведе, че поради перпендикулярните диагонали имаме равенство между сбора от квадратите на основите и квадратите на бедрата... Направо ме шашна тука

Trapec.png (45.33 KiB) Прегледано 393 пъти

На мен общо взето всичките идеи са ми сходни с гореспоменатото изключение. Обобщавам:
От правоъгълния $\Delta ACC_1$ имаме, че $(a+b)^2 = d_1^2 + d_2^2$.
На ъгъл $\alpha$ намираме тригонометричните функции по косинусова теорема за $\Delta ADD_1$ - $cos\alpha = \frac{1}{7}; sin\alpha = \frac{4\sqrt{3}}{7}$, откъдето всъщност намираме и височината $h = \frac{40\sqrt{3}}{7}$.

Сега с косинусови теореми ще изразим диагоналите спрямо $b$:
$cosT \Delta ACD \Rightarrow d_1^2 = b^2 + 100 + 2.10bcos\alpha$
$cosT \Delta ABD \Rightarrow d_2^2 = a^2 + 100 - 2.10acos\alpha$
Сумираме и получаваме $d_1^2 + d_2^2 = a^2 + b^2 + 200 - 2.10(a-b).\frac{1}{7} = (a + b)^2 - 2ab + 160$
Приравняваме от гореизразения сбор по Питагорова теорема и получаваме: $d_1^2 + d_2^2 = (a + b)^2 = (a+b)^2 - 2ab + 160$, откъдето вече лесно се вижда, че $ab = 80$, и нататък е същото... Но пак, интересува ме откъде го извади тоя трик или аз ли нещо недоглеждам

[123a]

От Питагорови теореми в правоъгълните триъгълници от перпендикуларните диагонали. Ако О е пресечната точка на диагоналите, имаме:

$AB^2=AO^2+BO^2,
BC^2=BO^2+CO^2,
CD^2=CO^2+DO^2,
AD^2=DO^2+AO^2$

От тук следва, че $AB^2+CD^2=AD^2+BC^2$

[Davids]

От Питагорови теореми в правоъгълните триъгълници от перпендикуларните диагонали. Ако О е пресечната точка на диагоналите, имаме:

$AB^2=AO^2+BO^2,
BC^2=BO^2+CO^2,
CD^2=CO^2+DO^2,
AD^2=DO^2+AO^2$

От тук следва, че $AB^2+CD^2=AD^2+BC^2$

Очевадна работа... И пак не тръгнах така, ужас Браво, добро решение! (Аз, да си кажа под секрет, го пререшавах два пъти заради странния отговор )

[Гост]

Построяваме през върха D успоредна на бедрото ВС. Нека тази права пресича основата АВ в т. К. Тогава

$DK^2=(a-b)^2=256+100-2.16*10*cos60=196$

$S_{ADK}=16.10.sin60.\frac{1}{2}=h.(a-b).\frac{1}{2}=h=\frac{40\sqrt{3}}{7}$

От перпендикулярните диагонали имаме $a^2+b^2=256+100=>(a-b)^2+2ab=356=>2ab=356-196=>ab=80$

$(a+b)^2-2ab=356$$=>(a+b)^2=516=>a+b=2\sqrt{129}$

$S=\frac{a+b}{2}.h=>S=\sqrt{129}.\frac{40\sqrt{3}}{7}=\frac{40.\sqrt{3}.\sqrt{3}.\sqrt{43}}{7}=\frac{120\sqrt{43}}{7}$

Нищо не разбирам!Какво е а,какво е b? И как от перпендикулярните диагонали следва,че [tex]а^{2}[/tex] + [tex]b^{2}[/tex] = 356? а и b трябва да са бедрата тогава?!Обяснете ако обичате по-подробно.

[123a]

Нищо не разбирам!Какво е а,какво е b? И как от перпендикулярните диагонали следва,че [tex]а^{2}[/tex] + [tex]b^{2}[/tex] = 356? а и b трябва да са бедрата тогава?!Обяснете ако обичате по-подробно.

a и b са основите на трапеца. Другото го обясних в предния пост.

[S.B.]

Трапец ABCD,AD = 10 ,BC = 16,гълът между диагоналите е 90[tex]^\circ[/tex], а между бедрата е 60[tex]^\circ[/tex];Търси се лицето на ABCD;
Подлагам на транслация с вектор [tex]\vec{DC}[/tex] бедрото AD, при която D[tex]\rightarrow[/tex]C и A[tex]\rightarrow[/tex]M,като M[tex]\in[/tex]AB;
Подлагам на същата транслация с вектор [tex]\vec{DC}[/tex] диагонала DB ,при която D[tex]\rightarrow[/tex] C и B[tex]\rightarrow[/tex]N , като N[tex]\in[/tex] АB,така,че B е между A и N;
Доказва се,че [tex]S_{ABCD }[/tex] = [tex]S_{ANC }[/tex] ( AN = AB + CD и [tex]h_{ABCD }[/tex] = [tex]h_{ANC }[/tex] )
За [tex]\triangle[/tex] MBC прилагам косинусова теорема : [tex]МB^{2}[/tex] = [tex]MC^{2}[/tex] +[tex]BC^{2}[/tex] - 2.MC.BC.cos60[tex]^\circ[/tex] = 100 + 256 -160 = 196 от където MB=14;
Нека CH[tex]\bot[/tex]MB; Ако CD =x тогава AM = x и BN = x (от транслацията);
[tex]\triangle[/tex]АNC e правоъгълен и CH е височина - тогава е изпълнено:[tex]CH^{2}[/tex] = AH.HN или : [tex]CH^{2}[/tex] = (x + MH).(BH + x)
Tърсим CH,MH и BH; Нека [tex]\angle[/tex]BMC = [tex]\alpha[/tex]
За [tex]\triangle[/tex]МBC по синусова теорема :[tex]\frac{14}{sin60^\circ}[/tex] = [tex]\frac{16}{sin\alpha}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] sin[tex]\alpha[/tex] = [tex]\frac{4\sqrt{3}}{7}[/tex] и съответно cos[tex]\alpha[/tex] = [tex]\frac{1}{7}[/tex]
От [tex]\triangle[/tex]МHC: CH = MC.sin[tex]\alpha[/tex] или CH= [tex]\frac{40\sqrt{3}}{7}[/tex] , MH = CM.cos[tex]\alpha[/tex] или MH = [tex]\frac{10}{7}[/tex] и BH = 14 - [tex]\frac{10}{7}[/tex] = [tex]\frac{88}{7}[/tex];
Заместваме в [tex]CH^{2}[/tex] = (x + MH)(BH + x) и получаваме [tex](\frac{40\sqrt{3}}{7})^{2}[/tex] = (х + [tex]\frac{10}{7}[/tex])(х + [tex]\frac{88}{7}[/tex]) [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]x^{2}[/tex] + 14х - 80 = 0
корените са [tex]x_{1 }[/tex] = - 7 + [tex]\sqrt{129}[/tex] и [tex]x_{2 }[/tex] = - 7 - [tex]\sqrt{129}[/tex] < 0
Тогава AN = AM + MB + BN или AN = 2x + 14 = 2.(-7 + [tex]\sqrt{129}[/tex]) + 14 = - 14 + 2.[tex]\sqrt{129}[/tex] + 14 Получихме : AN = 2.[tex]\sqrt{129}[/tex]
[tex]S_{ABCD }[/tex] = [tex]S_{ANC }[/tex] = [tex]\frac{AN.CH}{2}[/tex] = [tex]\frac{80.\sqrt{3}.\sqrt{3}.\sqrt{43}}{2.7}[/tex] = [tex]\frac{120\sqrt{43}}{7}[/tex]