2 задачки

[BaiStamat]

Ромб . Периметър= 100см диаговал1= 40. Диагонал 2 се търси и лицето и височината на ромба.


Правоъгълен триъгълник
a:b=8:15.
Хипотенза - 17см
Ъглополовящите се търсят.

[Петър Евгениев]

Ромб [tex]ABCD, P=100, d_{1}=40, d_{2}=?, S=?, h=?[/tex]
Лицето на ромба: [tex]S=ah, S=\frac{d_{1}d_{2}}{2}[/tex]
Периметъра на ромба е [tex]4a=100 \rightarrow a=25[/tex]страната на ромба
[tex]AC=d_{1}, DB=d_{2}, AC\cap DB=0[/tex], тъй като диагоналите в ромба се разполовяват и са перпендикулярни[tex]DO=OB=\frac{d_{2}}{2}[/tex]
Избираш, кой да е от четирите правоъгълни триъгълника примерно: [tex]\triangle AOB[/tex], и правиш Питагорова теорема [tex]AO^{2}+OB^{2}=AB^{2}[/tex], [tex]AO=OC=\frac{d_{1}}{2}=20[/tex], Питагоровата теорема става:
$$20^{2}+\left(\frac{d_{2}}{2} \right)^{2}=25^{2}$$
$$\frac{d_{2}^{2}}{4}=225 \Rightarrow d_{2}^{2}=225\times4 \Rightarrow \boxed{d_{2}=15\times2=30}$$
Лицето:[tex]S=\frac{d_{1}d_{2}}{2}=\frac{40\times30}{2}=600cm^{2}[/tex]
Височината, просто изразявам лицето по два начина:[tex]S=600=ah \Rightarrow S=600=25.h \Rightarrow h=\frac{600}{25}=24[/tex]

[Davids]

Правоъгълен триъгълник
a:b=8:15.
Хипотенза - 17см
Ъглополовящите се търсят.

Означаваме $a = 8x; b = 15x$ и правим Питагорова теорема:
$289 = 64x^2 + 225x^2 = 289x^2 \Rightarrow x = 1$
Оттам $a = 8; b = 15$. Сега ъглополовящите можем да намерим най-лесно чрез тригонометрия:
$cos\alpha = \frac{b}{c} = \frac{15}{17}$
Следователно $cos\frac{\alpha}{2} = +\sqrt{\frac{1 + cos\alpha}{2}} = \frac{4\sqrt{17}}{17}$ (знакът е плюс, защото ъгълът е остър).
Но ако $AL$ е ъглополовящата, то сме получили нов правоъгълен триъгълник $ALC$, от който можем да изведем:
$cos\frac{\alpha}{2} = \frac{b}{AL} \Rightarrow AL = \frac{b}{cos\frac{\alpha}{2}} = \frac{17\sqrt{17}}{4}$
Аналогично и другите. Може и да съм объркал нещо по сметките, от телефон съм.

[BaiStamat]

Уфф... златни сте!