Равнобедрен триъгълник

[Гост]

1.Даден е равнобедрен триъгълник с основа 24 cm и бедро 25 cm. Разстоянието от върха при бедрата до вписаната в триъгълника окръжност е?
2. В ромб със страна 5 cm. и лице 24 квадратни cm, дължините на диагоналите са ?
3. В трапец с основи 2 cm и 18 cm може да се впише и опише окръжност. Да се намери оборът от диагоналите на трапеца.

[Davids]

1.Даден е равнобедрен триъгълник с основа 24 cm и бедро 25 cm. Разстоянието от върха при бедрата до вписаната в триъгълника.

Какво точно имаш предвид под "разстоянието до вписаната окръжност"? $h - 2r$ ли се търси? Ако е така, то ето примерно решение:
$p = 37$
Херонова формула за лицето: $S = \sqrt{37.(37 - 25)^2.(37-24)} = 12\sqrt{37.13}$
Да, но $S = p.r = 37.r \Rightarrow r = \frac{S}{37} = \frac{12\sqrt{37.13}}{37}$
Паралелно с това и $S = \frac{24.h}{2} = 12h \Rightarrow h = \sqrt{37.13}$
Оттам имаме търсеното разстояние $h - 2r = \sqrt{37.13} - \frac{2.12}{37}\sqrt{37.13} = \frac{13}{37}\sqrt{37.13}$

[S.B.]

Зад.2:Ако [tex]d_{1 }[/tex] и [tex]d_{2 }[/tex] са диагоналите то S=[tex]\frac{d_{1 }.d_{2 }}{2}[/tex] = 24;Диагоналите се разполовяват и са взаимно перпендикулярни и ромба се дели на 4 правоъгълни триъгълника и по Питагор :[tex](\frac{d_{1 }}{2})^{2}[/tex] + [tex](\frac{d_{2 }}{2})^{2}[/tex] = [tex]5^{2}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} \frac{d_{1 }.d_{2 }}{2} = 24\\ \frac{d_{1 }^{2}}{4} + \frac{d_{2 }^{2}}{4} = 25\end{array}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\begin{array}{|l} d_{1 } .d_{2 } = 48\\d_{1 }^{2} + d_{2 }^{2} = 100\end{array}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\begin{array}{|l} d_{1 }.d_{2 } = 48 \\ (d_{1 } + d_{2 })^{2} - 2d_{1 }.d_{2 } = 100 \end{array}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex](d_{1 } + d_{2 })^{2}[/tex] - 96 = 100
[tex](d_{1 } + d_{2 })^{2}[/tex] = 196 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]d_{1 } + d_{2 }[/tex] = 14 или [tex]\begin{array}{|l} d_{1 }.d_{2 } = 48\\d_{1 } + d_{2 } = 14\end{array}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]d_{1 }[/tex] = 6 ; [tex]d_{2 }[/tex] = 8

[Гост]

1.Даден е равнобедрен триъгълник с основа 24 cm и бедро 25 cm. Разстоянието от върха при бедрата до вписаната в триъгълника.

Какво точно имаш предвид под "разстоянието до вписаната окръжност"? $h - 2r$ ли се търси? Ако е така, то ето примерно решение:
$p = 37$
Херонова формула за лицето: $S = \sqrt{37.(37 - 25)^2.(37-24)} = 12\sqrt{37.13}$
Да, но $S = p.r = 37.r \Rightarrow r = \frac{S}{37} = \frac{12\sqrt{37.13}}{37}$
Паралелно с това и $S = \frac{24.h}{2} = 12h \Rightarrow h = \sqrt{37.13}$
Оттам имаме търсеното разстояние $h - 2r = \sqrt{37.13} - \frac{2.12}{37}\sqrt{37.13} = \frac{13}{37}\sqrt{37.13}$

Условието е зададено точно така както съм го написал

[S.B.]

Зад.3:От условието,че около трапеца може да се опише окръжност,следва,че е равнобедрен,а от условието,че в него може да се впише окръжност следва,че сборът от основите и сборът от бедрата са равни.
Нека трапецът е ABCD, AB = 18 и CD = 2.Tой е равнобедрен [tex]\rightarrow[/tex] АD = BC и понеже в него може да се впише окръжност
[tex]\rightarrow[/tex] AD + BC = 18 +2 или АD = BC = 10;Построявам височините [tex]CC_{1 }[/tex] и [tex]DD_{1 }[/tex];[tex]BC_{1 }[/tex] = [tex]AD_{1 }[/tex] = [tex]\frac{18 - 2}{2}[/tex] = 8; Нека [tex]\angle[/tex][tex]CBC_{1 }[/tex] = [tex]\alpha[/tex]
От правоъгълния [tex]\triangle[/tex][tex]CBC_{1 }[/tex]имаме:[tex]\frac{BC_{1 }}{BC}[/tex] = cos[tex]\alpha[/tex] или cos[tex]\alpha[/tex] = [tex]\frac{8}{10}[/tex]
За [tex]\triangle[/tex]АCB прилагам косинусова теорема : [tex]АC^{2}[/tex] = [tex]AB^{2}[/tex] + [tex]BC^{2}[/tex] - 2.AB.BC.cos[tex]\alpha[/tex] или [tex]AC^{2}[/tex] = [tex]18^{2}[/tex] + [tex]10^{2}[/tex] - 2.18.10.[tex]\frac{8}{10}[/tex] от където [tex]AC^{2}[/tex] = 136,a AC=2[tex]\sqrt{34}[/tex],но трапецът е равнобедрен и AC = BD [tex]\Rightarrow[/tex] AC + BD = 4[tex]\sqrt{34}[/tex]

[Гост]

Относно първата задача.... Това разстояние не е ли всъщност радиуса на описаната окръжност?

[Davids]

Относно първата задача.... Това разстояние не е ли всъщност радиуса на описаната окръжност?

Не, защо така реши? Никой не гарантира, че центърът на описаната ще лежи на вписаната окръжност.