Вписан равнобедрен трапец

[Гост]

Спешно ми е за домашно. Само тази задача ми остана и не мога да я реша.Благодаря предварително!
Равнобедрен трапец ABCD => може да се опише окръжност около него. Има вписана к в него с радиус 4см => h=2r = 8см. Ъгъл α(алфа) 60 градуса.
Има 4 подточки за решаване: а)а=? (голямата основа)
б) b=? (Малката основа)
в) Да се намери диагонала
г) R=? със sin теорема

[Гост]

а) 8[tex]\sqrt{3}[/tex] см.
б) [tex]\frac{8\sqrt{3}}{3}[/tex] см.
в) [tex]\frac{8\sqrt{21}}{3}[/tex] см.
г) [tex]\frac{8\sqrt{7}}{3}[/tex] см.
Това ли са отговорите ???

[Гост]

а) 8[tex]\sqrt{3}[/tex] см.
б) [tex]\frac{8\sqrt{3}}{3}[/tex] см.
в) [tex]\frac{8\sqrt{21}}{3}[/tex] см.
г) [tex]\frac{8\sqrt{7}}{3}[/tex] см.
Това ли са отговорите ???

Нямам отговорите! Задачата предполагам е от сборник ,но ни я дадоха на дъската. Просто ми трябва пълното й решение,защото съм тотално забил.

[Петър Евгениев]

Спешно ми е за домашно. Само тази задача ми остана и не мога да я реша.Благодаря предварително!
Равнобедрен трапец ABCD => може да се опише окръжност около него. Има вписана к в него с радиус 4см => h=2r = 8см. Ъгъл α(алфа) 60 градуса.
Има 4 подточки за решаване: а)а=? (голямата основа)
б) b=? (Малката основа)
в) Да се намери диагонала
г) R=? със sin теорема

Принципно като пиша геометрични задачи обичам да описам кое какво е подробно, но сега ще оставя ти да си опишеш кое къде, какво и що.
На чертежа се вижда кое какво е.
Знaeш, че в него има вписната окръжност, което само по себе си е достатъчно да знаем,че:
Необходимо и достатъчо условие окръжност да може да се впише в четириъгълник е сбора от срещулежащите страни да е равен на сбора на другите две срещулежащи страни сиреч в нашия случай [tex]a+b=2c[/tex]
Разглеждаме [tex]\triangle AHD[/tex], правоъгълен триъгълник с ъгъл [tex]30^\circ[/tex], добре познат от 7 клас, както знаем, че:[tex]AH=\frac{a-b}{2}[/tex](много лесно се доказва пробвай сам, ако не питай, основна задача 8 клас)
$$AH=\frac{1}{2}AD \Rightarrow \frac{a-b}{2}=\frac{c}{2}$$
Питагорова теорема
$$\left (\frac{c}{2}\right)^{2}+8^{2}=c^{2} \Rightarrow$$
$$...$$
$$...$$
$$\boxed{c=\frac{16\sqrt{3}}{3}}$$
Изразавам тук: [tex]a+b=2c \Rightarrow \boxed{a=2c-b} \Rightarrow \frac{2c-b-b}{2}=\frac{c}{2} \Rightarrow \frac{2c-2b}{2}=\frac{c}{2} \Rightarrow c-b=\frac{c}{2} \Rightarrow \boxed{b=\frac{c}{2}}[/tex]
От изразеното и намереното [tex]c[/tex]:
$$\boxed{b=\frac{8\sqrt{3}}{3}}$$
$$а=2c-b=2\times\frac{16\sqrt{3}}{3}-\frac{16\sqrt{3}}{6}=...=8\sqrt{3}$$
$$\boxed{a=8\sqrt{3}}$$
Достроявам диагонала [tex]DB=d[/tex] знаем, че [tex]\angle BCD=120^\circ[/tex]
Косинусова теорема [tex]d^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc cos120^\circ[/tex]
Знаем [tex]b,c[/tex] и ги заместваме: [tex]d^{2}=\left(\frac{16\sqrt{3}}{6}\right)^{2}+\left(\frac{16\sqrt{3}}{3}\right)^{2}-2\times(\frac{16\sqrt{3}}{6})(\frac{16\sqrt{3}}{3})\times \frac{-1}{2}[/tex]
Получавам [tex]\boxed{d=\frac{8\sqrt{21}}{3}}[/tex]
Зада намерим [tex]R[/tex] гледаме [tex]\triangle ABD[/tex] примерно и трите му върха лежат на описаната окръжност околко трапеца значи синусовата теорема ще ни даде нейния радиус [tex]R[/tex]
$$sin th \triangle ABD \Rightarrow \frac{DB}{sin60^\circ}=2R \Rightarrow \frac{d}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \Rightarrow R=\frac{d}{\sqrt{3}}$$
Замествам [tex]d[/tex]
$$R=\frac{\frac{8\sqrt{21}}{3}}{\sqrt{3}}=...=\frac{8\sqrt{7}}{3}$$
$$\boxed{R=\frac{8\sqrt{7}}{3}}$$