Метрични зависимости в четириъгълник

[Гост]

Здравейте! Може ли малко помощ с няколко задачи. Ще съм много благодарна!
Задача 1: В трапец АБСД (АБ успоредна на СД) е вписана окръжност, която се допира до бедрото АД в точка Р. Намерете лицето на трапеца, ако АР=18см, РД = 2см и АБ=30 см.
Задача 2: Върху дъгата СД на описаната около квадрата АБСД окръжност е дадена точка Р. Докажете, че РА+РС=корен от 2 . РБ
Задача 3: Върху дъгата АБ на описаната около равностранния триъгълник АБС окръжност е дадена точка Р. Докажете, че РА+РБ=РС

[ева]

2 зад.
т.Р-произволна (не е среда на [tex]\widehat{CD}[/tex])
Нека [tex]\angle[/tex]РАС=[tex]\alpha[/tex],АВ=с,PA=a,PC=b,PB=х=?
[tex]\angle[/tex]APC=[tex]\angle[/tex]ADC=90[tex]^\circ[/tex] (вписани ъгли)

([tex]\triangle[/tex]ACP) cos[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{a}{AC}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] cos[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{a}{c\sqrt{2}}[/tex] (1)
sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{b}{AC}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{b}{c\sqrt{2}}[/tex] (2)
идеята за [tex]\triangle[/tex]АВР-sin T
[tex]\frac{PB}{sin(BAP)}[/tex]=2R т.е. [tex]\frac{х}{sin(\alpha+45^\circ)}[/tex]=AC
[tex]\frac{х}{\frac{\sqrt{2}}{2}sin\alpha+\frac{\sqrt{2}}{2}cos\alpha}[/tex]=c[tex]\sqrt{2}[/tex] ( от (1),(2))

[tex]\frac{2х}{\sqrt{2}\frac{b}{c\sqrt{2}}+\sqrt{2}\frac{a}{c\sqrt{2}}}[/tex]=c[tex]\sqrt{2}[/tex]

[tex]\frac{2хc}{a+b}[/tex]=c[tex]\sqrt{2}[/tex] /:c[tex]\ne[/tex]0

a+b=[tex]\frac{2х}{\sqrt{2}}[/tex]

a+b=х[tex]\sqrt{2}[/tex]

[Davids]

1) Нека $kxAB = M; kxBC = N; kxDC = L$. Тогава от свойството на допирателните към окръжност имаме, че $PL = PD = 2; AM = AP = 18$. Но понеже $AB = 30$, то $MB = NB = 12$. Остана частта $CL = CN = x$.
И сега принципно бих ползвал свойството на описан четириъгълник, че сборовете на две по две от срещуположните му страни са равни.
$AB + CD = AD + BC$
$30 + 2 + x = 20 + 12 + x$
$32 + x = 32 + x$
Но както виждаме, нещо не ни е доопределен трапеца Нещо не ме кефи тук

3)

РавностраненОкръжност.png (33.17 KiB) Прегледано 784 пъти

Ъглите се намират с равни дъги, става лесно, няма да задълбочавам.
Означил съм трите линейни елемента в играта както следва на чертежа. Сега ще направим две синусови теореми:
$\Delta PAC \Rightarrow \frac{a}{sinx} = \frac{c}{sin(120 - x)}$, изразяваме $a = \frac{c.sinx}{sin(120 - x)}$
$\Delta PBC \Rightarrow \frac{b}{sin(60 - x)} = \frac{c}{sin(60 + x)}$, изразяваме $b = \frac{c.sin(60 - x)}{sin(60 + x)} = \frac{c.sin(60 - x)}{sin(120 - x)}$ (тъй като $sin(60 + x) = sin[180 - (60 + x)] = sin(120 - x)$

Сега ще сумираме двете изразени стойности:
$a + b = \frac{c[sinx + sin(60 - x)]}{sin(120 - x)}$

Прилагаме формулата за сбор от синуси и изразяваме:
$sinx + sin(60 - x) = 2.sin\frac{x + 60 - x}{2}.cos\frac{x - (60 - x)}{2} = 2sin30cos(x - 30) = cos(x - 30)$

И тъй като $cos(x - 30) = sin[90 - (x - 30)] = sin(120 - x)$, то получаваме окончателно:
$a + b = \frac{c.cos(x - 30)}{sin(120 - x)} = \frac{c.sin(120 - x)}{sin(120 - x)} = c$
И с това доказваме тъждеството

[Добромир Глухаров]

По първа задача - спускаме височини от C и D към AB и от левия правоъгълен триъгълник намираме височината, после от десния - х (с Питагорова теорема).

[Davids]

По първа задача - спускаме височини от C и D към AB и от левия правоъгълен триъгълник намираме височината, после от десния - х (с Питагорова теорема).

Не знаеш на какви части разделя основата - така или иначе ще се наложи въвеждането на нова променлива и пак ще стигнем до кривата круша

[Гост]

Може ли помощ за последната задача

[Добромир Глухаров]

По първа задача - спускаме височини от C и D към AB и от левия правоъгълен триъгълник намираме височината, после от десния - х (с Питагорова теорема).

Не знаеш на какви части разделя основата - така или иначе ще се наложи въвеждането на нова променлива и пак ще стигнем до кривата круша

Ами равенството на допирателните? (от точки А и D)

[Davids]

Не схванах нещо... Точката на допиране не съвпада с петата на височината, не виждам някак с какво ще ни е полезно

[Добромир Глухаров]

Четириъгълник.png (24.7 KiB) Прегледано 752 пъти

[Davids]

Уф, разбрах те, а защо се бях заблудил, че допирателните точки на горната и долната основа не са на една височина, не знам... Имаш математическите ми извинения

[Добромир Глухаров]

Тъй като основите са успоредни, те са перпендикулярни на височина, която се явява диаметър.

[Davids]

Тъй като основите са успоредни, те са перпендикулярни на височина, която се явява диаметър.

Да, да, абсолютно е ясно... Ама нали знаеш, изключих просто и това е Всичко точно

[S.B.]

Решение на задачата от снимката:Рабнобедрен [tex]\triangle[/tex]ABC,AC=BC; вписана окръжност с r=6[tex]\frac{2}{3}[/tex];cos[tex]\angle[/tex]BAC = [tex]\frac{5}{13}[/tex];Търси се [tex]S_{ABC }[/tex] = ?
Нека CH[tex]\bot[/tex]AB, т. О - център на окръжността,O[tex]\in[/tex]CH;т.M [tex]\in[/tex]АC ,H и M са допирни точка на окр.с АB и AC;OH = OM = r;AH = AM =x като общи допирателни от т.А към окръжността;Нека МC = y и тогава AC = AM + MC = x + y;
Нека [tex]\angle[/tex]BAC = [tex]\alpha[/tex] cos[tex]\alpha[/tex] = [tex]\frac{5}{13}[/tex] , следователно sin[tex]\alpha[/tex] = [tex]\sqrt{1 - (\frac{5}{13})^{2}}[/tex] или sin[tex]\alpha[/tex] = [tex]\frac{12}{13}[/tex], а tg[tex]\alpha[/tex] = [tex]\frac{12}{5}[/tex]
От [tex]\triangle[/tex]AHC получавам [tex]\frac{АH}{AC}[/tex] = cos[tex]\alpha[/tex] или [tex]\frac{х}{х + y}[/tex] = [tex]\frac{5}{13}[/tex]
От [tex]\triangle[/tex]MOC , правоъгълен [tex]\angle[/tex]МOC = [tex]\alpha[/tex] също ([tex]\triangle[/tex]АHC и [tex]\triangle[/tex]MOC имат равни ъгли) и [tex]\frac{CM}{MO}[/tex] = tg[tex]\alpha[/tex] или [tex]\frac{y}{r}[/tex] =tg[tex]\alpha[/tex] , [tex]\frac{y}{6\frac{2}{3}}[/tex] = [tex]\frac{12}{5}[/tex]
от където се получава y = [tex]\frac{12.\frac{20}{3}}{5}[/tex] или y = 16;Замествам в [tex]\frac{x}{x + y}[/tex] = [tex]\frac{5}{13}[/tex] или [tex]\frac{х}{х + 16}[/tex] = [tex]\frac{5}{13}[/tex] и получавам х = 10;
И така получихме х = АH = 10 [tex]\Rightarrow[/tex] AB = 20 ; AC = AM + MC = x + y = 10 + 16 = 26;
[tex]S_{ABC }[/tex] = [tex]\frac{1}{2}[/tex]AB.AC.sin[tex]\alpha[/tex] = [tex]\frac{1}{2}[/tex].20.26.[tex]\frac{12}{13}[/tex] = 240

[S.B.]

Решение на прогресията от снимката:
Дадени са пърете 3 члена от геом. прогресия: а , aq , a[tex]q^{2}[/tex] за които е известнo,че: а + аq + а[tex]q^{2}[/tex] = 114
Ако [tex]а_{1 }[/tex],[tex]а_{4 }[/tex] и [tex]а_{25 }[/tex] са членове на аритм. прогресия то [tex]а_{1 }[/tex] = а ,[tex]а_{4 }[/tex] = аq и [tex]a_{25 }[/tex] = a[tex]q^{2}[/tex] или аq = a + 3d и а[tex]q^{2}[/tex] = a + 24d; Образувам:
[tex]\begin{array}{|l} аq = a + 3d \\aq^{2} = a + 24d\\a + aq + aq^{2} = 114 \end{array}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\begin{array}{|l}a(q - 1) = 3d \\a(q^{2} - 1)=24d\\a(1 + q + q^{2})= 114 \end{array}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\begin{array}{|l}d = \frac{a(q - 1)}{3} \\a(q + 1)(q - 1) = 24.\frac{a(q - 1)}{3} \\a(1 + q + q^{2}) = 114 \end{array}[/tex]
q [tex]\ne[/tex]1, a[tex]\ne[/tex]0 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\begin{array}{|l}q + 1 = 8 \\a(1 + q + q^{2})= 114 \end{array}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\begin{array}{|l} q = 7 \\ a(1 + q + q^{2})= 114 \end{array}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] 57a = 114 или а=2
Числата са : 2 , 14 , 98
P.S. Видях,че "метереологичната" задача вече е решена от Genie_Almo

[Добромир Глухаров]

Думата "метеорология" произлиза от думата "метеор" - небесно тяло.

[S.B.]

Думата "метеорология" произлиза от думата "метеор" - небесно тяло.

Да така е :метеОрОлогична е правилно! Но от тази дума езикът ти се връзва на "фльнга" !По- добре синоптична!

[Гост]

Четириъгълник.png

При намирането на h - височина сте записали (18+2)2=(18-2)2-h2
20.20=16.16 - h2
h2=256-400=-122
Пс: аз ли се бъркам?

[Гост]

Четириъгълник.png

При намирането на h2(h на квадрат) = 256-400=-144 Аз ли греша?

[Гост]

Четириъгълник.png

Извинявайте, разбрах. В мен е грешката!

[Гост]

2 зад.
т.Р-произволна (не е среда на [tex]\widehat{CD}[/tex])
Нека [tex]\angle[/tex]РАС=[tex]\alpha[/tex],АВ=с,PA=a,PC=b,PB=х=?
[tex]\angle[/tex]APC=[tex]\angle[/tex]ADC=90[tex]^\circ[/tex] (вписани ъгли)

([tex]\triangle[/tex]ACP) cos[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{a}{AC}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] cos[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{a}{c\sqrt{2}}[/tex] (1)
sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{b}{AC}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{b}{c\sqrt{2}}[/tex] (2)
идеята за [tex]\triangle[/tex]АВР-sin T
[tex]\frac{PB}{sin(BAP)}[/tex]=2R т.е. [tex]\frac{х}{sin(\alpha+45^\circ)}[/tex]=AC
[tex]\frac{х}{\frac{\sqrt{2}}{2}sin\alpha+\frac{\sqrt{2}}{2}cos\alpha}[/tex]=c[tex]\sqrt{2}[/tex] ( от (1),(2))

[tex]\frac{2х}{\sqrt{2}\frac{b}{c\sqrt{2}}+\sqrt{2}\frac{a}{c\sqrt{2}}}[/tex]=c[tex]\sqrt{2}[/tex]

[tex]\frac{2хc}{a+b}[/tex]=c[tex]\sqrt{2}[/tex] /:c[tex]\ne[/tex]0

a+b=[tex]\frac{2х}{\sqrt{2}}[/tex]

a+b=х[tex]\sqrt{2}[/tex]

Интересно ми е 1) Защо АС=с\sqrt{2}
2)Защо sin<BAP=sin(\alpha+45)
3)Защо 2R=AC, не и ли АС=R
4)Как от sin(\alpha+45) стана \frac{\sqrt{2}}{2}sin\alpha+\frac{\sqrt{2}}{2}cos\alpha
5)Как на предпоследния и послидния ред от PA+PC=\frac{2}{\sqrt{2}}PB стана PA+PC=\sqrt{2}PB

Благодаря предварително

[ева]

Скрит текст: покажи

Да се смея ли,да плача ли ?Ще отговоря на гост,защото е имал смелостта да зададе въпросите.

1.АС е хипотенуза в равнобедрения правоъгълен тр-к АВС с катети-с.От Питагор-[tex]АС^{2}[/tex]=[tex]с^{2}[/tex]+[tex]с^{2}[/tex] ;[tex]АС^{2}[/tex]=2[tex]с^{2}[/tex] (коренуваме)
[tex]\Rightarrow[/tex] АС=с[tex]\sqrt{2}[/tex]
2.Диагоналът АС се явява ъглополовяща на правия ъгъл BAD,т.е.[tex]\angle[/tex]ВАС=[tex]\frac{90^\circ}{2}[/tex]=45[tex]^\circ[/tex]
тогава [tex]\angle[/tex]ВАР=[tex]\angle[/tex]ВАС+[tex]\angle[/tex]САР=45[tex]^\circ[/tex]+[tex]\alpha[/tex]
3.Центърът на описаната окр.около квадрата е пресечната т.на диагоналите му.т.е. т.О е среда на АС [tex]\Rightarrow[/tex] АО=СО=R
AC=AO+CO=R+R=2R
4.(формула) sin([tex]\alpha[/tex]+45[tex]^\circ[/tex])=sin[tex]\alpha[/tex].cos45[tex]^\circ[/tex]+cos[tex]\alpha[/tex].sin45[tex]^\circ[/tex]=sin[tex]\alpha[/tex][tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]+cos[tex]\alpha[/tex][tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]
5.Предпоследния ред е получения отговор,но сте учили,че в знаменателя не трябва да има корен квадратен.
Досещаме се да представим 2=[tex]\sqrt{2}[/tex].[tex]\sqrt{2}[/tex] тогава a+b=[tex]\frac{2х}{\sqrt{2}}[/tex]=[tex]\frac{\sqrt{2}.\sqrt{2}х}{\sqrt{2}}[/tex]=х[tex]\sqrt{2}[/tex]