Комбинаторика

[Гост]

1. Четиричленно семейство отива на почивка, където се настаняват по двама в стая. По колко различни начини може да стане това?
2. Броят на трицифрените числа, които се делят на 5 е?
3. В равнобедрен правоъгълен триъгълник с дължина на хипотенузата 15 по корен втори от 2 см е писан квадрат, едната страна на който лежи на хипотенузата, а другите два върха лежат върху катетите. Да се намери лицето на квадрата.

[Davids]

1) Трябва ти буквално определението за група от $n$ елемента от $k$-ти клас. Т.е. групите от по двама от общо четири души:
$G_4^2 = \frac{4.3}{2.1} = 6$ начина са възможни.

2) Трицифрените числа, които се делят на пет, трябва да отговарят на две изисквания:
- първата им цифра да не е 0;
- последната им цифра да е 0 или 5.
Следователно за първите две цифри от числото имаме $9.10$ възможности (тъй като изключваме нулата на първо място), а за всяка от тези възможности имаме по два варианта - един път нула накрая и един път петица. Окончателно броя на тези числа е $9.10.2 = 180$

3) По определението за синус (а и по много други начини ) можем да намерим бедрото $a = 15cm$. Нека квадратът допира $AC$ в точка $M$, а $BC$ в точка $N$. Страната на квадрата върху основата ще е $PK$. Тогава имаме $\Delta MNC$, който също е правоъгълен и равнобедрен и оттам ще означим $MC = NC = x$. Тогава страната на квадрата ще е $\sqrt{2}x$.
Сега ще спуснем височината към хипотенузата на $ABC$, която ще е $CH = h = \frac{15\sqrt{2}}{2}$. И ползваме, че $\Delta APM \approx \Delta AHC$:
$\frac{PM}{CH} = \frac{AM}{AC}$
$\frac{\sqrt{2}x}{\frac{15\sqrt{2}}{2}} = \frac{15 - x}{15}$
$\frac{2x}{15} = \frac{15 - x}{15}$
И оттам $2x = 15 - ь$
$x = 5$.
Следователно страната на квадрата е $5\sqrt{2}$ и лицето му е $S = (5\sqrt{2})^2 = 50cm^2$