Лица на многоъгълници

[Гост]

Здравейте! Може ли помощ? Благодаря!

Задача 1: Да се намери отношението на страните на труъгълник, ако обиколката на квадрата е равна на обиколката на правоъгълника, а лицето на правоъг. = 0.75 лице на квадрат.

Задача 2: Да се намери лицето на правоъгълник по дадени:
А) страна а и ъгъл фи между диагоналите срещулежащ на дадена страна
Б) периметър 2p и ъгъл фи между диагоналите

Задача 3: Да се намери лицето на правоъгълен триъгълник АБС (с=90°) по дадени
А) R=1см и Алфа
Б) hc=3см и Алфа
В) а и mc
Г) а и hc

Задача 4: Да се намерят катетите на правоъгълен триъгълник S=6см^{2} и хипотенуза=5см.

Задача 5: Да се намери Sabc, ако ъгъл Гама=90°
а) с=10см и а-б=2см
б) а=5см и с-б=1см

[ева]

1 зад.

Скрит текст: покажи

В първото изречение имаш грешка,сигурно вместо триъгълник имат предвид правоъгълник.

Нека a,b-са страните на правоъг.,като a>b (1),cтраната на квадрата е-с.
[tex]\frac{a}{b}[/tex]=
[tex]\begin{array}{|l} 2(a+b)=4c \\ ab=\frac{75}{100} c^{2}\end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} c=\frac{a+b}{2} (зам.)\\ ab=\frac{3}{4}c^{2} \end{array}[/tex]

ab=[tex]\frac{3}{4}[/tex].[tex]\frac{(a+b)^{2}}{4}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] 3[tex]a^{2}[/tex]-10ab+3[tex]b^{2}[/tex]=0

Приемаме b за параметър,а за неизвестно.Решаваме квадратното ур-е:
3[tex]а^{2}[/tex]-10b.a+3[tex]b^{2}[/tex]=0 ;k=-5b ; D=25[tex]b^{2}[/tex]-3.3[tex]b^{2}[/tex]=([tex]4b)^{2}[/tex]

[tex]a_{1,2 }[/tex]=[tex]\frac{5b\pm4b}{3}[/tex] т.е. [tex]a_{1 }[/tex]=3b (2) , [tex]a_{2 }[/tex]=[tex]\frac{b}{3}[/tex] [отг.[tex]а_{2 }[/tex] отпада-виж (1)]
Накрая [tex]\frac{a}{b}[/tex] [от (2)]=[tex]\frac{3b}{b}[/tex]=[tex]\frac{3}{1}[/tex]
отг.3:1

[Петър Евгениев]

Здравейте! Може ли помощ? Благодаря!
Задача 3: Да се намери лицето на правоъгълен триъгълник АБС (с=90°) по дадени
А) R=1см и Алфа
Б) hc=3см и Алфа
В) а и mc
Г) а и hc

a)[tex]R=1, \alpha[/tex] това е дадено
Синусова теорема [tex]\frac{BC}{sin\alpha}=2.1 \Rightarrow BC=2sin\alpha[/tex]
От друга страна самия синус(дефиницията в правоъгълен триъгълник [tex]sin\alpha=\frac{BC}{AB}=\frac{2sin\alpha}{AB} \Rightarrow AB=2[/tex]
Ето едни начин от тук щом единия е алфа другия прав, то третия ще е [tex]90^\circ-\alpha[/tex]
Лицето е [tex]S=\frac{BC.AB.sin(90^\circ-\alpha)}{2}=\frac{2sin\alpha.\cancel{2}.cos\alpha}{\cancel{2}}=2sin\alpha.cos\alpha=sin2\alpha[/tex]
б)[tex]h_{c}=3, \alpha[/tex]

Webp.net-resizeimage (1).png (12.48 KiB) Прегледано 372 пъти

От [tex]\triangle AHC \angle H=90^\circ sin\alpha=\frac{CH}{AC}=\frac{h_{c}}{AC} \Leftrightarrow AC=\frac{h_{c}}{sin\alpha}[/tex]
От [tex]\triangle ABC ,\angle C=90^\circ cos\alpha=\frac{AC}{AB}=\frac{\frac{h_{c}}{sin\alpha}}{AB} \Rightarrow AB=\frac{h_{c}}{sin\alpha cos\alpha}[/tex]
[tex]S=\frac{\frac{h_{c}}{sin\alpha}.\frac{h_{c}}{\cancel{sin\alpha} cos\alpha}.\cancel{sin\alpha}}{2}=\frac{h_{c}^{2}}{2sin\alpha cos\alpha}=\frac{h_{c}^{2}}{sin2\alpha}[/tex]
[tex]h_{c}=3 \Rightarrow S=\frac{9}{sin2\alpha}[/tex]
в)[tex]a,m_{c}[/tex]
В правоъгълен триъгълник медианата към хипотенузата е половината от нея.
[tex]m_{c}=\frac{1}{2}.AB \Rightarrow AB=2m_{c}[/tex]
Питагорова теорема [tex]a^{2}+AC^{2}=4m_{c}^{2} \Rightarrow AC^{2}=4m_{c}^{2}-a^{2} \Rightarrow AC=\sqrt{4m_{c}^{2}-a^{2}}=\sqrt{(2m_{c}-a)(2m_{c}+a)}[/tex]
В правоъгълния триъгълник лицето е равно на катет по катет върху две, този факт се доказва още 7 клас чрез триъгълничета а тъй като ти си 10 клас още по-лесно:[tex]S=\frac{AC.BC.sin90^\circ}{2}=\frac{AC.BC}{2}[/tex], защото [tex]sin90^\circ=1[/tex]
[tex]S=\frac{\sqrt{(2m_{c}-a)(2m_{c}+a)}.a}{2}[/tex]
г)[tex]h_{c},a[/tex]
Питагороава теорема за [tex]\triangle BHC[/tex], [tex]H[/tex] е точката в която височината пресича хипотенузата.
[tex]h_{c}^{2}+HB^{2}=a^{2} \Rightarrow HB^{2}=a^{2}-h_{c}^{2} \Rightarrow HB=\sqrt{(a-h_{c})(a+h_{c})}[/tex]
Тъй като [tex]HB[/tex] е ортогонална проекция на катета [tex]BC[/tex] върху хипотенузата и знаем, че всеки катет е средногеометричен на ортогоналната си проекция и хипотенузата тоест:
[tex]a^{2}=HB.AB \Rightarrow AB=\frac{a^{2}}{HB}=\frac{a^{2}}{\sqrt{(a-h_{c})(a+h_{c})}}[/tex]
[tex]S=\frac{AB.h_{c}}{2}=\frac{\frac{a^{2}}{\sqrt{(a-h_{c})(a+h_{c})}}.h_{c}}{2}=\frac{a^{2}.h_{c}}{2\sqrt{(a-h_{c})(a+h_{c})}}[/tex]

[Петър Евгениев]

Задача 4: Да се намерят катетите на правоъгълен триъгълник S=6см^{2} и хипотенуза=5см.

Задача 5: Да се намери Sabc, ако ъгъл Гама=90°
а) с=10см и а-б=2см
б) а=5см и с-б=1см

4.Правиш система с две неизвестни(двата катета).
[tex]S=\frac{a.b}{2}=6 \Rightarrow ab=12[/tex]
Ако,[tex]a,b[/tex] са катетите.
Питагорова теорема:[tex]a^{2}+b^{2}=25[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} ab=12 \\ a^{2}+b^{2}=25 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} a=\frac{12}{b} \\ \frac{144}{b^{2}}+b^{2}=25 \end{array}[/tex]
$$144+b^{4}-25b^{2}=0 \Rightarrow b^{4}-25b^{2}+144=0$$
Нека [tex]b^{2}=y[/tex]
$$y^{2}-25y+144=0 .... y_{1}=9, y_{2}=16$$
Връщам се в полагането [tex]b^{2}=9 \Rightarrow b=\pm3, b>0 \Rightarrow b=3[/tex]
[tex]b^{2}=16 \Rightarrow b=\pm 4 b>0 \Rightarrow b=4[/tex]
Имаш два случая, когато [tex]b=3[/tex] и когато [tex]b=4[/tex]
[tex]a=\frac{12}{b}=\frac{12}{3}=4[/tex] или [tex]a=\frac{12}{3}=4[/tex]
Двойките решения на тази система за [tex](a,b) , (3,4), (4,3)[/tex]

П.С.:[tex]3,4,5[/tex] са Питагорова тройка т.е [tex]3^{2}+4^{2}=5^{2}[/tex]

Задача 5.а) [tex]\triangle ABC, C=90^\circ, c=10, a-b=2 \Rightarrow a=b+2[/tex]
Питагорова теорема [tex](b+2)^{2}+b^{2}=100 \Rightarrow b^{2}+4b+4+b^{2}=100 \Rightarrow 2b^{2}+4b-96=0 \Leftrightarrow b^{2}+2b-48=0 ... b_{1}=-8<0\notin (b>0), b_{2}=6 \Rightarrow b=6[/tex]
[tex]a=b+2=6+2=8[/tex]
[tex]S=\frac{a.b}{2}=\frac{8.6}{2}=24cm^{2}[/tex]
б)[tex]a=5, c-b=1 \Rightarrow c=b+1[/tex],
Питагорова теорема [tex]5^{2}+b^{2}=(b+1)^{2} \Rightarrow 25+\cancel{b^{2}}=\cancel{b^{2}}+2b+1 \Rightarrow 2b=24 \Rightarrow b=12[/tex]
Знаем и [tex]a=5 \Rightarrow S=\frac{12.5}{2}=30cm^{2}[/tex]