Лица

[Гост]

Моля, който може да ми обясни няколко задачки.

Задача 1: Страните на правоъгълник са 4 и 6 см.Ъглополовящите на ъглите, пролижащи на по-голямата, разделят правоъгълника на четири непресичащи се фигури. Да се намерят лицата им. Отг: 1см2, 7см2, 7см2, 9см2

Задача 2: Да се намери лицето на успоредник с остър ъгъл алфа, ако разстоянията от пресечната точка на диагоналите му до страните са p и q. Отг: [tex]\frac{4pq}{sin\alpha}[/tex]

Задача 3: Периметърът на успоредник е 90см, един от диагоналите му е 25см, а лицето му - 420 см2. Колко см е вторият диагонал? Отг: 39см

Задача 4: Около окръжност с радиус 10см е описан четириъгълник с взеимноперпендикулярни диагонали, които са 30см и 28см. Да се намери периметърът на четириъгълника. Отг: 84см

Задача 5: Около окръжност с радиус r е описан правоъгълен трапец, чиято голяма оспова е два пъти по-голяма от малката. Да се намери лицето на трапеца. Отг: \frac{9}{2} r^{2}

Задача 6: Да се намери лицето на равнобедрен \triangle ABC –(AC=BC), по дадени
а) р и \alpha отг: \frac{p^{2}sin2\alpha}{2(1+cos\alpha)^{2}}
б) r и \alpha отг: r^{2}cotg\frac{\alpha}{2}tg\alpha
в) R и \alpha отг: 2R^{2}sin^{2}\alpha sin2\alpha

[Davids]

Задача 1: Страните на правоъгълник са 4 и 6 см.Ъглополовящите на ъглите, пролижащи на по-голямата, разделят правоъгълника на четири непресичащи се фигури. Да се намерят лицата им. Отг: 1см2, 7см2, 7см2, 9см2

Нека пресечната точка на ъглополовящите $AL$ и $BL_1$ да е $O$.
Тогава имаме два подобни равнобедрени триъгълника $\Delta ALD \thicksim BL_1C$ с бедра по 4см. Тогава $AL_1 = L_1L = LC = 2$. Оттам и $\Delta LL_1O \thicksim \Delta ABO$ с коефициент на подобие $k = 1:3$. Значи лицата на триъгълниците се отнасят както $1:9$. Бележим $S_{LL_1O} = x$, значи $S_{ABO} = 9x$, и изразяваме лицето на целия правоъгълник:
$S_{ABCD} = 2S_{ALD} - S_{LL_1O} + S_{ABO} = 2.\frac{4.4}{2} - x + 9x$
$24 = 16 + 8x$
$x = 1$.
Оттам другото лице е $9cm^2$, а другите две лица се намират лесно, че са по $7cm^2$.

[Davids]

Задача 2: Да се намери лицето на успоредник с остър ъгъл алфа, ако разстоянията от пресечната точка на диагоналите му до страните са p и q. Отг: [tex]\frac{4pq}{sin\alpha}[/tex]

Означаваме $AB = a; AD = b$, пресечна точка на диагоналите е $O$.
Ако $OO_1 = p$, а $OO_2 = q$, то значи $h_a = 2p$ и $h_b = 2q$. Тогава, ако спуснем височина $DH = h_a = 2p$, то от правоъгълния $\Delta AHD$ имаме по дефиницията на синус:
$sin\alpha = \frac{2p}{b} \Rightarrow b = \frac{2p}{sin\alpha}$
Аналогично, с височина $BH_1 = h_b = 2q$ получаваме и $a = \frac{2q}{sin\alpha}$
Ползваме окончателно формулата за лице на успоредник:
$S = absin\alpha = \frac{\frac{4pq}{sin^2\alpha}}{sin\alpha} = \frac{4pq}{sin\alpha}$

[Davids]

Задача 3: Периметърът на успоредник е 90см, един от диагоналите му е 25см, а лицето му - 420 см2. Колко см е вторият диагонал? Отг: 39см

Тази беше интересна. $AB = a; AD = b; \angle BAD = \alpha; BD = 25; AC = d$.
Така, започваме с периметъра:
$2(a+b) = 90$
$\boxed{a + b = 45}$
Отделно, от лицето на успоредника имаме $absin\alpha = 420 \Rightarrow \boxed{ab = \frac{420}{sin\alpha}}$
И последно, по косинусова теорема за $\Delta ABD$:
$25^2 = a^2 + b^2 - 2abcos\alpha$
$a^2 + b^2 = 625 + 2abcos\alpha$
$\Rightarrow \boxed{a^2 + b^2 = 625 + \frac{840cos\alpha}{sin\alpha}}$

От оградените уравнения можем да направим система, в която ще се възползваме от формула за съкратено умножение:
$(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$

Сега ще заместим каквото знаем:
$(45^2 =) 81.25 = 25.25 + \frac{2.420cos\alpha}{sin\alpha} + \frac{840}{sin\alpha}$
$(81 - 25).25 = \frac{840}{sin\alpha}(1 + cos\alpha)$
$\cancel{56.5}.5.sin\alpha = \cancel{56.5}.3(1 + cos\alpha)$

Ползваме формулата $1 + cos\alpha = 2cos^2\frac{\alpha}{2}$:
$5sin\alpha = 3.2cos^2\frac{\alpha}{2}$
$5.\cancel{2}sin\frac{\alpha}{2}\cancel{cos\frac{\alpha}{2}} = 3.\cancel{2}cos^{\cancel{2}}\frac{\alpha}{2}$
$\Rightarrow \boxed{tg\frac{\alpha}{2} = \frac{3}{5}}$

Оттам вече по заучения начин намираме $sin\alpha = \frac{15}{17}$. Оттам намираме веднага и $ab = \frac{420}{sin\alpha} = 476$.
Следователно $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 45^2 - 2.476 = 1073$

За улеснение накрая ще ползваме формулата $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$
$\Rightarrow 625 + d^2 = 2.1073$
$d^2 = 1521$
$\Rightarrow \boxed{d = 39}$ е другият диагонал.

[Davids]

Задача 4: Около окръжност с радиус 10см е описан четириъгълник с взеимноперпендикулярни диагонали, които са 30см и 28см. Да се намери периметърът на четириъгълника. Отг: 84см

За описан четириъгълник знаем, че $S = pr = 10p$ в случая. Отделно знаем, че за всеки четириъгълник е в сила $S = \frac{d_1d_2sin\phi}{2}$, където $\phi$ е ъгълът между диагоналите. В случая $\phi = 90^{\circ} \Rightarrow sin\phi = 1$. Оттам и:
$S = 10p = \frac{30.28}{2} = 30.14$
$p = 3.14 = 42$
$\Rightarrow \boxed{P = 84cm}$

[Davids]

Задача 5: Около окръжност с радиус r е описан правоъгълен трапец, чиято голяма оспова е два пъти по-голяма от малката. Да се намери лицето на трапеца. Отг: \frac{9}{2} r^{2}

В този трапец имаме $AB = 2x; CD = x; AD = h = 2r$. Оттам и лицето е $S = \frac{x + 2x}{2}.2r = 3xr$.
Ако отбележим $BC = d$, то в описания трапец $AB + CD = AD + BC \Rightarrow d = 3x - 2r$.
Паралелно с това, по Питагор, ако спуснем височина $CH = 2r$, ще имаме $d = \sqrt{x^2 + 4r^2}$
Оттам и:
$\sqrt{x^2 + 4r^2} = 3x - 2r ||^2$
$x^2 + 4r^2 = 9x^2 - 12xr + 4r^2$
$\Rightarrow x = \frac{3}{2}r$

Следователно $\boxed{S = 3xr = \frac{9}{2}r^2}$

[Гост]

Задача 2: Да се намери лицето на успоредник с остър ъгъл алфа, ако разстоянията от пресечната точка на диагоналите му до страните са p и q. Отг: [tex]\frac{4pq}{sin\alpha}[/tex]

Означаваме $AB = a; AD = b$, пресечна точка на диагоналите е $O$.
Ако $OO_1 = p$, а $OO_2 = q$, то значи $h_a = 2p$ и $h_b = 2q$. Тогава, ако спуснем височина $DH = h_a = 2p$, то от правоъгълния $\Delta AHD$ имаме по дефиницията на синус:
$sin\alpha = \frac{2p}{b} \Rightarrow b = \frac{2p}{sin\alpha}$
Аналогично, с височина $BH_1 = h_b = 2q$ получаваме и $a = \frac{2q}{sin\alpha}$
Ползваме окончателно формулата за лице на успоредник:
$S = absin\alpha = \frac{\frac{4pq}{sin^2\alpha}}{sin\alpha} = \frac{4pq}{sin\alpha}$

Искам да попитам защо ha=2p и обратното за другата височина

[Davids]

Защото пресечната точка на диагоналите ги разполовява, следователно перпендикулярът, спуснат от тази точка към страна, е равен на половината от височината от срещулежащия на страната връх към нея. Доказва се с подобни триъгълници.

[Гост]

Защото пресечната точка на диагоналите ги разполовява, следователно перпендикулярът, спуснат от тази точка към страна, е равен на половината от височината от срещулежащия на страната връх към нея. Доказва се с подобни триъгълници.

Ужасно много ти благодаря,че се отзова толкова бързо

[Гост]

Задача 3: Периметърът на успоредник е 90см, един от диагоналите му е 25см, а лицето му - 420 см2. Колко см е вторият диагонал? Отг: 39см

Тази беше интересна. $AB = a; AD = b; \angle BAD = \alpha; BD = 25; AC = d$.
Така, започваме с периметъра:
$2(a+b) = 90$
$\boxed{a + b = 45}$
Отделно, от лицето на успоредника имаме $absin\alpha = 420 \Rightarrow \boxed{ab = \frac{420}{sin\alpha}}$
И последно, по косинусова теорема за $\Delta ABD$:
$25^2 = a^2 + b^2 - 2abcos\alpha$
$a^2 + b^2 = 625 + 2abcos\alpha$
$\Rightarrow \boxed{a^2 + b^2 = 625 + \frac{840cos\alpha}{sin\alpha}}$

От оградените уравнения можем да направим система, в която ще се възползваме от формула за съкратено умножение:
$(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$

Сега ще заместим каквото знаем:
$(45^2 =) 81.25 = 25.25 + \frac{2.420cos\alpha}{sin\alpha} + \frac{840}{sin\alpha}$
$(81 - 25).25 = \frac{840}{sin\alpha}(1 + cos\alpha)$
$\cancel{56.5}.5.sin\alpha = \cancel{56.5}.3(1 + cos\alpha)$

Ползваме формулата $1 + cos\alpha = 2cos^2\frac{\alpha}{2}$:
$5sin\alpha = 3.2cos^2\frac{\alpha}{2}$
$5.\cancel{2}sin\frac{\alpha}{2}\cancel{cos\frac{\alpha}{2}} = 3.\cancel{2}cos^{\cancel{2}}\frac{\alpha}{2}$
$\Rightarrow \boxed{tg\frac{\alpha}{2} = \frac{3}{5}}$Как намери sin alpha, че е 15/17

Оттам вече по заучения начин намираме $sin\alpha = \frac{15}{17}$. Оттам намираме веднага и $ab = \frac{420}{sin\alpha} = 476$.
Следователно $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 45^2 - 2.476 = 1073$

За улеснение накрая ще ползваме формулата $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$
$\Rightarrow 625 + d^2 = 2.1073$
$d^2 = 1521$
$\Rightarrow \boxed{d = 39}$ е другият диагонал.