Лице на трапец

[Гост]

Диагоналите на трапец ABCD са равни на 3cm и 5cm, а отсечката, съединяваща средите на основите му, е равна на 2cm. Намерете лицето на трапеца.

[GeorgiKer]

Да и аз имам проблем с тази задача, може ли чертеж и накратко обяснение (решение) на задачата?

[S.B.]

Диагоналите на трапец ABCD са равни на 3cm и 5cm, а отсечката, съединяваща средите на основите му, е равна на 2cm. Намерете лицето на трапеца.

Скоро решавахме тази задача с други числа.Можете да я намерите в "Кандидат студенти" със заглавие "Един обикновен трапец".
viewtopic.php?f=85&t=21456

[Гост]

Видях как е решена онази задача, но пак не ми излизат изчисленията...

[Гост]

Извинете, ще може ли решение на задачата с текущите числа?

[S.B.]

Е,добре!Трапецът е ABCD, като AC = 3 и BD = 5; M - среда на CD, N - среда на AB,като MN=2;
Подлагаш BD на транслация с вектор [tex]\vec{DC}[/tex] при която D[tex]\rightarrow[/tex]C ,a B[tex]\rightarrow[/tex]P,като P[tex]\in[/tex]AB ( B между А и P и BP = CD)
Подлагаш MN на транслация с вектор [tex]\vec{DC}[/tex] при която M[tex]\rightarrow[/tex]C и N[tex]\rightarrow[/tex]Q като Q [tex]\in[/tex]AB
[tex]S_{ABCD }[/tex] = [tex]\frac{AB + CD}{2}[/tex].h ; [tex]S_{APC }[/tex] = [tex]\frac{AP}{2}[/tex].h = [tex]\frac{AB + BP}{2}[/tex].h = [tex]\frac{AB + CD}{2}[/tex].h [tex]\Rightarrow[/tex][tex]S_{ABCD }[/tex] = [tex]S_{ACP }[/tex];
Подлагаш т.C на централна симетрия с център Q при която C[tex]\rightarrow[/tex] L,като CQ = QL;[tex]\triangle[/tex]AQC [tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]QCL ( CQ= QL ,AQ = QP и [tex][/tex]AQC = [tex]\angle[/tex]PQL)
[tex]S_{APC }[/tex] = [tex]S_{AQC }[/tex] + [tex]S_{QPC }[/tex] = [tex]S_{QPC }[/tex] + [tex]S_{QPL }[/tex] = [tex]S_{CLP }[/tex]
[tex]\triangle[/tex]CLP има страни :CP = 5,PL = 3 и CL = 4 [tex]\Rightarrow[/tex] имаш Питагорова тройка 3,4,5 и [tex]S_{CLP }[/tex] = [tex]\frac{3.4}{2}[/tex] = 6[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]S_{ABCD }[/tex] = 6

[Nathi123]

Нека отсечката MN - е отсечката съединяваща средите съответно на основите AB и CD на трапеца , а отсечката PQ - съединяваща средите на бедрата му ,съответно AD и ВС. Следователно чет. MQNP е успоредник и [tex]MQ=\frac{1}{2}AC=\frac{3}{2} ; NQ=\frac{1}{2}BD=\frac{5}{2}[/tex]
Прилагаме кос. т-ма за [tex]\triangle MQN\Rightarrow cos\angle MQN=\frac{\frac{25}{4}+\frac{9}{4}-2}{2.\frac{3.5}{4}}=\frac{3}{5}[/tex]
MQ||AC; NQ||BD [tex]\Rightarrow \angle MQC=\angle (AC,BD) \Rightarrow S_{ABCD}=\frac{1}{2}.AC.BD.sin\angle NQM; sin\angle NQM =\frac{4}{5}\Rightarrow S_{ABCD}=\frac{3.5.4}{2.5}=6[/tex].