Геометрия

[Гост]

1.Равнобедрен трапец, основи 7 и 3 а косинусът на ъгъла при основата му е 0,5.Търси се диагонала на трапеца.

2.даден е равнобедрен триъгълник ABC с основа AB=4 и бедра AC=BC=6.Търси се hb, синусите, R i r.

[Davids]

1) Спускаме височина $DH = h$ в трапеца и понеже $cos\angle BAD = cos\alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 60^{\circ}$. Тогава $tg\alpha = tg60 = \frac{h}{AH} \Rightarrow h = AH.tg60 = \frac{a-b}{2}.tg60 = 2.tg60 = 2\sqrt{3}$.
Тогава от правоъгълния $\Delta HBD$ по Питагорова теорема имаме:
$BD^2 = h^2 + HB^2 = (2\sqrt{3})^2 + (b + \frac{a-b}{2})^2 = 12 + 25 = 37$
$\Rightarrow BD = \sqrt{37}$ е диагоналът.

2) По Питагорова теорема намираме $h_a = 4\sqrt{2}$ и тогава
$a.h_a = b.h_b \Rightarrow h_b = \frac{a.h_a}{b} = \frac{4.4\sqrt{2}}{6} = \frac{8\sqrt{2}}{3}$.

Ако ъгълът при основата е $\alpha$, то лесно намираме от определението за синус, че $sin\alpha = \frac{h_a}{b} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
Ако ъгълът при върха е $\gamma$, то отново по определението за синус и косинус намираме:
$cos\frac{\gamma}{2} = cos(90 - \alpha) = sin\alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$
$sin\frac{\gamma}{2} = sin(90 - \alpha) = cos\alpha = \frac{1}{3}$
И тогава $sin\gamma = 2sin\frac{\gamma}{2}cos\frac{\gamma}{2} = \frac{2.2\sqrt{2}.1}{3^2} = \frac{4\sqrt{2}}{9}$.

$R$ и $r$ ще намерим чрез лицето:
$S = \frac{ah_a}{2} = \frac{ab^2}{4R} = pr$
Първо намираме $S = \frac{ah_a}{2} = \frac{4.4\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}$
Тогава $R = \frac{4.6^2}{4.8\sqrt{2}} = \frac{9\sqrt{2}}{4}$
и $r = \frac{S}{p} = \frac{8\sqrt{2}}{8} = \sqrt{2}$

Може да имам грешки по сметките, но схващаш идеята. И другия път сам