Задачкии

[Гост]

1.Равнобедрен трапец основи 16см и 10см а височината корен от 7. Намерете косинуса на ъгъла при голямата основа.

2.диагоналът на равнобедрен трапец е 25 см а височината му е 15.Търси се лицето на трапеца

Благодаря ви предварително!

[S.B.]

Зад.1:Трапецът ABCD,AB II CD, BC = AD ;DP[tex]\bot[/tex]AB,DP = [tex]\sqrt{7}[/tex],AB = 16 , CD = 10 ;Търси се cos[tex]\angle[/tex]DAB
DP = [tex]\frac{AB - CD}{2}[/tex] = [tex]\frac{16 - 10}{2}[/tex] = 3;Нека [tex]\angle[/tex]DAB = [tex]\alpha[/tex]
Разглеждам [tex]\triangle[/tex]APD ,правоъгълен:[tex]АD^{2}[/tex] = [tex]AP^{2}[/tex] + [tex]DP^{2}[/tex] или [tex]AP^{2}[/tex] = 9 + 7 = 16 от където AD = 4;
cos[tex]\alpha[/tex] = [tex]\frac{AP}{AD}[/tex] или cos[tex]\alpha[/tex] = [tex]\frac{3}{4}[/tex]

Зад.2:Трапец ABCD,равнобедрен,AC = 25 , h=15; [tex]S_{ABCD }[/tex]= ?
Подлагам диагонала BD на транслация с вектор [tex]\vec{DC}[/tex] при която D[tex]\rightarrow[/tex]C и B[tex]\rightarrow[/tex]M ,като M[tex]\in[/tex]AB и B e между A и M;
(Aко не сте учили транслация,построяваш през т.C права CM II DB и получаваш успоредник BMCD)
[tex]S_{AMC }[/tex] = [tex]S_{ABCD }[/tex] защото [tex]S_{ABCD }[/tex] = [tex]\frac{AB + CD}{2}[/tex].h , [tex]S_{AMC }[/tex] = [tex]\frac{AM.h}{2}[/tex] но AM = AB +BM = AB +CD (защото BM = CD от транслацията)
CH [tex]\bot[/tex]AM ,[tex]\triangle[/tex]AHC е правоъгълен, [tex]АH^{2}[/tex] = [tex]AC^{2}[/tex] - [tex]CH^{2}[/tex] или AH = [tex]\sqrt{25^{2} - 15^{2}}[/tex] от където AH = 20;
[tex]S_{AHC }[/tex] = [tex]\frac{AH.HC}{2}[/tex] = [tex]\frac{20.15}{2}[/tex] = 150 ;[tex]\triangle[/tex]AHC [tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]MHC[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]S_{AHC }[/tex] = [tex]S_{MHC }[/tex] = 150[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]S_{AMC }[/tex] = 300
От където и [tex]S_{ABCD }[/tex] = 300

[ева]

2 зад. (2 начин)
Нека [tex]\angle[/tex]ABD=[tex]\beta[/tex],DH=15 см. е височина на трапеца,BD=25 см.
АВ=а, CD=b
[tex]\triangle[/tex]HBD-правоъгълен [tex]15^{2}[/tex]+[tex]ВН^{2}[/tex]=[tex]25^{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] ВН=20 см.,но ВН=b+[tex]\frac{a-b}{2}[/tex]
тогава b+[tex]\frac{a-b}{2}[/tex]=20 ; a+b=40 (1)

[tex]\triangle[/tex]HBD-правоъгълен sin[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{DH}{BD}[/tex]=[tex]\frac{15}{25}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] sin[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{3}{5}[/tex] (2)

[tex]S_{ABCD }[/tex]=[tex]S_{ABD }[/tex]+[tex]S_{BCD }[/tex]=[tex]\frac{25a.sin\beta}{2}[/tex]+[tex]\frac{25b.sin\beta}{2}[/tex]=[tex]\frac{25sin\beta(a+b)}{2}[/tex] [от (1) и (2) ]

[tex]S_{ABCD }[/tex]=[tex]\frac{25.3.40}{2.5}[/tex]=300 [tex]см.^{2}[/tex]