Има ли реални корени ?

[Гост]

[tex]x^{3}[/tex]-15[tex]x^{2}[/tex]+59х-16=0

[Nathi123]

Вярно ли е поставен въпроса? Дали не се пита ,,Има ли рационални корени уравнението?"

[Knowledge Greedy]

Без анализ - алгебричната гледна точка.
Представяме така
[tex](x-5)^3-16(x-5)+29=0[/tex]
Полагаме [tex]t=x-5[/tex]
Получаваме [tex]t^3-16t+29=0 \,\ (\ast)[/tex]
Решаваме системата
[tex]\left | \begin{matrix}
-3bc=-16 \\
b^3+c^3=29
\end{matrix} \right .[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex][tex]\left | \begin{matrix}
c=16/3b \\
b^3+\frac{16^3}{27b^3}=29
\end{matrix} \right .[/tex]
с полагане [tex]u=b^3[/tex] (при това (! ) ще се получи [tex]b=\sqrt[3]{u_1}[/tex], а [tex]c=\sqrt[3]{u_2}[/tex]).
[tex]27u^2-27.29u+16^3=0[/tex]
[tex]D=170721[/tex]
[tex]u_1=\frac{1}{2}\left (783 +\sqrt{170721} \right )[/tex]
[tex]u_2=\frac{1}{2}\left (783 -\sqrt{170721} \right )[/tex]
Така
[tex]b=\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left (783 +\sqrt{170721} \right )}[/tex]
[tex]c=\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left (783 -\sqrt{170721} \right )}[/tex]
и за реалния корен намираме
[tex]x=-\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left (783 +\sqrt{170721} \right )}-\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left (783 -\sqrt{170721} \right )}[/tex]
__________
Защото [tex]t=a[/tex] в известната задача:
Ако [tex]a+b+c=0[/tex], то [tex]a^3+b^3+c^3=3abc[/tex],
а за коефициентите [tex]b[/tex] и [tex]c[/tex], и неизвестното [tex]a[/tex] - точно това се е случило по-горе [tex](\ast)[/tex]

[tex]t^3+0.t^2-16t+29=0 \,\ (\ast)[/tex]
- както забелязвате, коефициентът [tex](a+b+c)[/tex] пред [tex]t^2[/tex] е равен на нула.
А кубичното уравнение е записано във вида
[tex]a^3-3(bc)a+b^3+c^3=0[/tex], т.е.
[tex]t^3-3(bc)t+b^3+c^3=0 \,\ (\ast)[/tex]

__________
Можехме и директно да се възползваме от формулата на Кардано, вместо да я извеждаме

[KOPMOPAH]

Ето малко теория по въпроса:

Както знаем (или би трябвало да знаем) всяко уравнение от трета степен има не повече от три корена (ако говорим за областта на комплексните числа, корените са ВИНАГИ три). И, съвсем логично, заради четността, по-точно нечетността - винаги има поне един реален корен. Всички възможни случаи на корените се определят от знака на дискриминантата на уравненето (да, има такова нещо ) така:

Ако е дадено уравнението $ax^3+bx^2+cx+d=0$, то изразът $\Delta= -4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 + 18abcd - 27a^2d^2$ се нарича дискриминанта!

И така, възможни са само следните 3 случая:

$Δ > 0$ - уравнението има три различни реални корена;
$Δ < 0$ - уравнението има един корен, или по-точно един реален и два комплексно спрегнати;
$Δ = 0$ - поне два от корените съвпадат, т.е. имаме уравнение или с два съвпадащи корена и трети, различен от тях, или и трите корена съвпадат.

Всичко по-горе го предоставям на вашето внимание, защото въпросът беше дали ИМА реални корени, а не кои са Решението на Knowledge Greedy е както винаги на висота.

[123a]

Ще предложа и аз решение, в което се надявам да нямам грешки в сметките.

Ще използвам Метода на Щурм за намиране на броя на реалните корени на уравнение.

$f(x)=x^3-15x^2+59x-16$

$f_{1}=f'(x)=3x^2-30x+59$

$f_{2}=$ остатъкът от делението на $\frac{x^3-15x^2+59x-16}{3x^2-30x+59}$ с отрицателен знак $=>f_{2}=5x^2+\frac{118}{3}x+16$

$f_{3}=$ остатъкът от делението на [tex]\frac{f_{1}}{f_{2}}[/tex] с отрицателен знак $=>f_{3}=\frac{32x-343}{5}$

$f_{4}=$остатъкът от делението на [tex]\frac{f_{2}}{f_{3}}[/tex] с отрицателен знак $=>f_{4}=\frac{1369}{96}x-16$

$f_{5}=$ остатъкът от делението на [tex]\frac{f_{2}}{f_{3}}[/tex] с отрицателен знак $=>f_{5}$ е положителна константа. И спираме до тук понеже получихме константа.

За да намерим броя на реалните корени на уравнението, първо намираме знаците на границите на полиномите при $-\infty$ и $+\infty$

При $-\infty$ $f(x)=-, f_1=+, f_2=-, f_3=-, f_4=-, f_5=+$

При $+\infty$ $f(x)=+, f_1=+, f_2=-, f_3=+, f_4=+, f_5=+$

След това определаме броя на вариациите при двата случая. Вариация има тогава, когато два члена от една редица имат различни знаци.

При и $-\infty$ имаме 3 вариации, а при $+\infty$ имаме 2.

Броят на реалните корени на уравнението е равен на разликата между броя на вариациите при $-\infty$ и $+\infty$.

Така : $Var$$(-\infty)$$-$$Var$$(\infty)$$=3-2=1$

Получихме, че уравнението има един реален корен.

[123a]

Ще предложа и аз решение, в което се надявам да нямам грешки в сметките.

Ще използвам Метода на Щурм за намиране на броя на реалните корени на уравнение.

$f(x)=x^3-15x^2+59x-16$

$f_{1}=f'(x)=3x^2-30x+59$

$f_{2}=$ остатъкът от делението на $\frac{x^3-15x^2+59x-16}{3x^2-30x+59}$ с отрицателен знак $=>f_{2}=5x^2+\frac{118}{3}x+16$

$f_{3}=$ остатъкът от делението на [tex]\frac{f_{1}}{f_{2}}[/tex] с отрицателен знак $=>f_{3}=\frac{32x-343}{5}$

$f_{4}=$остатъкът от делението на [tex]\frac{f_{2}}{f_{3}}[/tex] с отрицателен знак $=>f_{4}=\frac{1369}{96}x-16$

$f_{5}=$ остатъкът от делението на [tex]\frac{f_{2}}{f_{3}}[/tex] с отрицателен знак $=>f_{5}$ е положителна константа. И спираме до тук понеже получихме константа.

За да намерим броя на реалните корени на уравнението, първо намираме знаците на границите на полиномите при $-\infty$ и $+\infty$

При $-\infty$ $f(x)=-, f_1=+, f_2=-, f_3=-, f_4=-, f_5=+$

При $+\infty$ $f(x)=+, f_1=+, f_2=-, f_3=+, f_4=+, f_5=+$

След това определаме броя на вариациите при двата случая. Вариация има тогава, когато два члена от една редица имат различни знаци.

При и $-\infty$ имаме 3 вариации, а при $+\infty$ имаме 2.

Броят на реалните корени на уравнението е равен на разликата между броя на вариациите при $-\infty$ и $+\infty$.

Така : $Var$$(-\infty)$$-$$Var$$(\infty)$$=3-2=1$

Получихме, че уравнението има един реален корен.

Допуснах грешки при изчисляването на деленията и остатъка.

След коригиране се получава

$f_2=\frac{32x-247}{3},f_3$ e отрицателна константа. $f_4, f_5$ няма.

Тогава

При $-\infty$ $f(x)=-, f_1=+, f_2=-, f_3=-$

При $+\infty$ $f(x)=+, f_1=+, f_2=+, f_3=-$

При и $-\infty$ имаме 2 вариации, а при $+\infty$ една.

Така : $Var$$(-\infty)$$-$$Var$$(\infty)$$=2-1=1$ -един реален корен.