Бисетократи и паралелограми!

[Гост]

Моля ви ,помогнете! Трябва ми за понеделник!!
първа задача
ABCD est un parallélogramme, l est le milieu de (AD), j le milieu de (BC), et k le symetrique du point D par rapport au point C.
a) Prouver que le quadrilitaire ABKC est un parallelogramme .
b) Demontrer que les droites (AC), (DJ) et (IK) sont concourantes
ABCD е паралелограма, l е средата на (AD), средата на (BC) и k е симетрична на точка D по отношение на точка В.
а) Докажете, че четириъгълникът ABKC е паралелограма.
б) Демонстрирайте, че правата линии (AC), (DJ) и (IK) са сходни
2 задача
soit un triangle ABC rectangle en A. H est le projete orthogonal du point A sur (BC) est l est le milieu de (BC)
Demontrer que la bissectrice de l'angle HA est aussi bissectrice de l'angle BAC
дясният триъгълник ABC в A.H е ортогоналната проекция на точка А на (BC) е l е средата на (BC)
Докажете, че бисекторът на ъгъла HA е също така пресечен на ъгъла BAC

[inveidar]

Да напишем първо условията на задачите като хората!
Задача 1. Точката I е средата на страната АD, а точката J е средата на страната ВС на успоредника АВСD. К е симетричната точка на D спрямо С( К е от правата DC и DC=CK).
а) Докажете, че четириъгълникът ABKC също е успоредник и точките А, J и К лежат на една права;
б) Докажете, че правите АС, DJ и СК минават през една точка.

Задача 2. Триъгълникът АВС е правоъгълен с прав ъгъл при върха А. Н е ортогоналната проекция на А върху страната ВС(демек АН е височината към хипотенузата ВС), а I е средата на страната ВС. Докажете, че ъглополовящата на ъгъл НАI е ъглополовяща и на ъгъл ВАС.

[KOPMOPAH]

Тъй като понеделник наближава, ето ти нещо по задачите:

$1$ задача

а) Щом като $AB$ е успоредна и равна на $CK$, значи $ABKC$ е успоредник. Ако $J$ е среда на $BC$, то $AJ$ е част от диагонала $AK$ и точките $A$, $J$ и $K$ лежат на една права.
б) Отсечките $CA$, $KI$ и $DJ$ са медиани за $\triangle AKD$ и съвсем логично е да минават през една точка като всички нормални медиани


$2$ задача

Ако $\measuredangle ABC = \beta$, то и ъгъл $\measuredangle HAC = \beta$ от подобието на $\triangle ABC$ и $\triangle AHC$, а и $\measuredangle BAI = \beta$ т.к. $AI$ е медиана, която е равна на половината хипотенуза и $\triangle AIB$ е равнобедрен.

Ако $AL$ е ъглополовяща, значи ъглите $\measuredangle HAL$ и $\measuredangle IAL$ са равни. Като прибавим към равните ъгли по една $\beta$, ще получим пак равни ъгли

[S.B.]

Зад.2:Хубаво е да вземеш лист и молив и да чертаеш:
[tex]\triangle[/tex]ABC,[tex]\angle[/tex] A = 90[tex]^\circ[/tex];AH[tex]\bot[/tex]BC ,като H[tex]\in[/tex]BC;т.I [tex]\in[/tex]BC и BI = CI;АL - ъглополовяща на [tex]\angle[/tex]HAI; Ще докажем,че АL - ъглополовяща на [tex]\angle[/tex]BAC;
Нека отбележим [tex]\angle[/tex]B = [tex]\beta[/tex].От т.I среда на BC следва,че AI медиана [tex]\Rightarrow[/tex]CI = BI = AI [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]ABI е равнобедрен и [tex]\angle[/tex]BAI = [tex]\beta[/tex] тогава [tex]\angle[/tex]AIC = 2[tex]\beta[/tex] (като външен за [tex]\triangle[/tex]ABI);
[tex]\triangle[/tex]AHI е правоъгълен и от [tex]\angle[/tex]AIC = 2[tex]\beta[/tex][tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]AIH = 2[tex]\beta[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]HAI = 90[tex]^\circ[/tex] - 2[tex]\beta[/tex] ,a [tex]\angle[/tex] HAL = [tex]\frac{1}{2}[/tex][tex]\angle[/tex]HAI= 45[tex]^\circ[/tex] - [tex]\beta[/tex];
[tex]\triangle[/tex]ABC е правоъгълен и от [tex]\angle[/tex]А = 90[tex]^\circ[/tex] и [tex]\angle[/tex]B = [tex]\beta[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]C = 90[tex]^\circ[/tex] - [tex]\beta[/tex], но [tex]\triangle[/tex]АHC също е правоъгълен и от [tex]\angle[/tex]H = 90[tex]^\circ[/tex] и [tex]\angle[/tex]C = 90[tex]^\circ[/tex] - [tex]\beta[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]CAH = [tex]\beta[/tex]
[tex]\angle[/tex]CAL = [tex]\angle[/tex]CAH + [tex]\angle[/tex]HAL = [tex]\beta[/tex] + 45[tex]^\circ[/tex] - [tex]\beta[/tex] = 45[tex]^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] AL е ъглополовяща на [tex]\angle[/tex]BAC (= 90[tex]^\circ[/tex])

[S.B.]

Зад.1:а) Разглеждаш четриъгълника ABKC:AB II DC,CK e продължение на DC [tex]\Rightarrow[/tex] AB II CK; AB=DC,DC = CK [tex]\Rightarrow[/tex] AB = CK
[tex]\begin{cases} AB = CK \\AB II CK \end{cases}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]ABCK е успоредник;
[tex]\triangle[/tex]ABJ [tex]\cong[/tex] [tex]\triangle[/tex]CKJ (AB = CK, CJ = BJ ,[tex]\angle[/tex]ABJ = [tex]\angle[/tex]KCJ като кръстни)[tex]\Rightarrow[/tex] АJ = KJ и CJ = BJ т.е.AK и BC са диагонали в усп.ABKC и J e пресечната им точка [tex]\Rightarrow[/tex]А,J ,K лежат на една права;
Подусловие б) не мога да докажа.АC X DJ = т.P;Aко т.P [tex]\in[/tex]CK тогава CK и AC имат втора обща т.освен т.C и CK[tex]\equiv[/tex]AC ???

[inveidar]

Подусловие б) не мога да докажа.АC X DJ = т.P;Aко т.P [tex]\in[/tex]CK тогава CK и AC имат втора обща т.освен т.C и CK[tex]\equiv[/tex]AC ???

Виж решението на КОРМОРАН!

[S.B.]

Подусловие б) не мога да докажа.АC X DJ = т.P;Aко т.P [tex]\in[/tex]CK тогава CK и AC имат втора обща т.освен т.C и CK[tex]\equiv[/tex]AC ???

Виж решението на КОРМОРАН!

КОРМОРАН доказва,че DJ,AC и KI минават през една точка,а аз DJ,AC и .....KC! "малка подробност"!

[inveidar]

Е, да. Объркал съм превода малко.