Разположение на корените на кв. тричлен спрямо дадено число

[Гост]

Намерете стойностите на параметъра m, за които уравнението (x^{2}-2x-1)^{2} - m(x^{2}-2x) + m +4 =0 има решение. Трябва да се направи с полагане. Може ли помощ?

Намерете стойностите на параметъра m, за които всяко x<0 е решение на неравенството x^{2} - (2m+1)x + m^{2} - [tex]\frac{1}{4}[/tex] > 0.

[KOPMOPAH]

Щом трябва полагане - ще полагаме!

В уравнението $(x^{2}-2x-1)^{2} - m(x^{2}-2x) + m +4 =0$ виждаме, че разликата между израза в първите скоби и вторите е само една единица, значи можем да прибавим и извадим единица, за да си улесним полагането. $$(x^{2}-2x-1)^{2} - m(x^{2}-2x) + m +4 =\\=(x^{2}-2x-1)^{2} - m(x^{2}-2x+1-1) + m +4 =\\=(x^{2}-2x-1)^{2} - m(x^{2}-2x-1)-\cancel{m} + \cancel{m} +4=\\=(x^{2}-2x-1)^{2} - m(x^{2}-2x-1)+4=0$$
Сега вече идва ред на полагането $x^{2}-2x-1=y$, което дава уравнението $y^2-my+4=0$.
То има решение при $m^2-16 \ge 0$, $m \in [-4;4]$
Решенията са $y_1=\frac{m+\sqrt{m^2-16}}2$ и $y_2=\frac{m-\sqrt{m^2-16}}2$.
Оттук следват уравненията $x^{2}-2x-1=\frac{m+\sqrt{m^2-16}}2$ и $x^{2}-2x-1=\frac{m-\sqrt{m^2-16}}2$
... to be continued...

[123a]

Щом трябва полагане - ще полагаме!

В уравнението $(x^{2}-2x-1)^{2} - m(x^{2}-2x) + m +4 =0$ виждаме, че разликата между израза в първите скоби и вторите е само една единица, значи можем да прибавим и извадим единица, за да си улесним полагането. $$(x^{2}-2x-1)^{2} - m(x^{2}-2x) + m +4 =\\=(x^{2}-2x-1)^{2} - m(x^{2}-2x+1-1) + m +4 =\\=(x^{2}-2x-1)^{2} - m(x^{2}-2x-1)-\cancel{m} + \cancel{m} +4=\\=(x^{2}-2x-1)^{2} - m(x^{2}-2x-1)+4=0$$
Сега вече идва ред на полагането $x^{2}-2x-1=y$, което дава уравнението $y^2-my+4=0$.

Дотук и аз бих постъпил така. Само че сега бих разгледал уравнението $x^{2}-2x-1=y$ и кога то има решение.

$D=4+4+4y$[tex]\ge0\Rightarrow y\ge-2[/tex] и уравнението от условието ще има решение, когато уравнението $y^2-my+4=0$ има корени $\ge-2$

[123a]

Относно неравенството:

1.Ако $D<0$ следва, че неравенството е изпълнено за всяко х , следователно и всяко х<0

2. Ако $D\ge0$ неравенството ще е изпълнено за всяко х<0, когато корените му са по-големи от 0.

Обединяваш решенията на двата случая и си готов.