радиусите на вписаната и описаната окръжности равни на ?

[Гост]

Ако триъгълник ABC е равнобедрен с ъгъл при основата a и основа 2a , то намерете радиусите на вписаната и описаната окръжности за триъгълник ABC .

[S.B.]

Без заглавие (32).png (153.53 KiB) Прегледано 259 пъти

Ако триъгълник ABC е равнобедрен с ъгъл при основата a и основа 2a , то намерете радиусите на вписаната и описаната окръжности за триъгълник ABC .

[tex]\angle BAC = \angle ABC = \alpha \Rightarrow \angle ACB = 180^\circ - 2\alpha[/tex] Прилагам синусова теорема :$\frac{AB}{sin(180^\circ - 2\alpha)} = 2R$
$\frac{2a}{sin(180 - 2\alpha)} = \frac{2a}{sin2\alpha} = 2R \Rightarrow R = \frac{a}{sin2\alpha}$
$E$ е център на вписаната окръжност ,$ED = r$ , $AE$ - ъглополовяща на $\angle BAC = \alpha$
От $\triangle ADE$ имаме $\frac{ED}{AD} = tg\frac{\alpha}{2} \Leftrightarrow \frac{r}{a} = tg\frac{\alpha}{2} \Rightarrow r = a.tg\frac{\alpha}{2}$