Тормозеща задачка

[Гост]

Без да намирате корените х1 и х2 на квадратното уравнение 2х²+х-16=0 съставете квадратно уравнение корените на което са
а) два пъти по големи от х1 и х2
б) равни на 1/х1 и 1/х2

Умолявам ви да ми помогнете. Един час си дремя на тази задача която 8-мо класници решават.

[Davids]

По формулите на Виет намираме $x_1 + x_2 = -\frac{1}{2}$ и $x_1x_2 = -8$
Сега ще разгледаме подточките:
а) $-p = 2(x_1 + x_2) = -16 \Rightarrow p = 16$
$q = 2x_1.2x_2 = -2$
Уравнението е $x^2 + 16x - 2 = 0$

б) $-p = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{1}{16}$
$q = \frac{1}{x_1x_2} = -\frac{1}{8}$
И уравнението е $16x^2 - x - 2 = 0$

[Гост]

По формулите на Виет намираме $x_1 + x_2 = -\frac{1}{2}$ и $x_1x_2 = -8$
Сега ще разгледаме подточките:
а) $-p = 2(x_1 + x_2) = -16 \Rightarrow p = 16$
$q = 2x_1.2x_2 = -2$
Уравнението е $x^2 + 16x - 2 = 0$

б) $-p = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{1}{16}$
$q = \frac{1}{x_1x_2} = -\frac{1}{8}$
И уравнението е $16x^2 - x - 2 = 0$

Може ли да ми обясните б) по-подробно? Благодаря!

[Knowledge Greedy]

б) Уравнението, което търсим е от вида [tex]y^2+py+q=0[/tex]
Корените му естествено означаваме с [tex]y_1[/tex] и [tex]y_2[/tex]

От даденото [tex]2x^2+x-16=0[/tex]
Davids » Чет Фев 07, 2019 4:59 pm е написал
[tex]\begin{array}{|l} x_1+x_2=-\frac{1}{2} \\ x_1.x_2=\frac{-16}{2}=-8 \end{array}[/tex]

В това подусловие се иска
[tex]\begin{array}{|l} y_1=\frac{1}{x_1} \\ y_2=\frac{1}{x_2} \end{array}[/tex]

За да използваме формулите на Виет
образуваме [tex]y_1+y_2=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2+x_1}{x_1.x_2}[/tex]
и заместваме с намерените по-горе сбор и произведение
[tex]y_1+y_2=\frac{-\frac{1}{2}}{-8}=\frac{1}{16}[/tex]
и за втората - аналогично
[tex]y_1.y_2=\frac{1}{x_1}.\frac{1}{x_2}=\frac{1}{x_1.x_2}=\frac{1}{-8}[/tex]

Намерихме [tex]p=-\frac{1}{16}[/tex]
Намерихме [tex]q=-\frac{1}{8}[/tex]
и записваме уравнението [tex]y^2-\frac{1}{16}y-\frac{1}{8}=0[/tex]

Разбира се името на неизвестното е наш избор . Може да го кръстим T (- на дядо ми Тодор)
[tex]T^2-\frac{1}{16}T-\frac{1}{8}=0[/tex]
може да го оставим както е по-горе [tex]y[/tex], а може и така, както го е написал Davids в черновата си [tex]x^2-\frac{1}{16}x-\frac{1}{8}=0[/tex].
_________
И ако си имал търпението да изчетеш всичко това (дори да си се справил сам), за крайния отговор също имаш избор.
Ако не ти се занимава с дробни числа, умножи по [tex]16[/tex]:
[tex]16x^2-x-2=0[/tex]
Нещо повече - можеш да получиш квадратно уравнение с какъвто искаш коефициент [tex]a[/tex] пред [tex]x^2[/tex], нали?