Косинусова теорема в правоъгълен триъгълник

[RuzleBG]

Имаме правоъгълен триъгълник и окръжност писана в него. Разстоянието от центъра на окръжността до острите ъгли са съответно[tex]\sqrt{10}[/tex] и [tex]\sqrt{5}[/tex]. Да се намери лицето на триъгълника. Намерил съм само, че основата е 5.

[Гост]

6

[Davids]

Добре си започнал, това е първото необходимо. След това можеш да намериш радиуса на вписаната окръжност като височина в $\triangle ABO$:
$S_{ABO} = \frac{\sqrt{5}.\sqrt{10}.sin135}{2} = \frac{5r}{2} \Rightarrow r = \frac{5\sqrt{2}.\sqrt{2}}{2.5} = 1$
Паралелно с това имаш $r = \frac{a + b - c}{2} \Rightarrow a + b = 2r + c = 7$
Остана един малък номер:
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + b^2 + 4\frac{ab}{2} = c^2 + 4S = 25 + 4S = 49$
$\Rightarrow 4S = 24$
$S = 6$