Косинусова и Синусова теорема

[Гост]

Имаме триъгълник ABC, АС=√2 cm, СВ=√10 cm и <САВ=45°, търсим страната АВ. Реших задачата така:

а^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc.cos[tex]\gamma[/tex]
c^{2}=10+2-2\sqrt{2}c \frac{\sqrt{2}}{2}

Като тук не съм сигурна дали трябва да е 10+2 или 10-2 и в крайна сметка ми се получава:

с^{2}=8-2с или с^{2}=12-2с
c=\sqrt{8-2c} cm с=\sqrt{12-2с} cm

Отговора в учебника е 4 cm, моля за обяснение къде бъркам и дали изобщо трябва да изпалзвам тази формула.

[Гост]

Нещо не се оправих с изписването на задачата, та затова ще я напиша пак XD. Много съжалявам, малко трудно се разбира.

Имаме триъгълник ABC, АС=√2 cm, СВ=√10 cm и <САВ=45°, търсим страната АВ. Реших задачата така:

а^2=b^2+c^2-2bc.cos[tex]\gamma[/tex]
c^2=10+2-2√2.с.(√2/2)

Като тук не съм сигурна дали трябва да е 10+2 или 10-2 и в крайна сметка ми се получава:

с^2=8-2с или с^2=12-2с
c=√(8-2c) cm с=√(12-2с) cm

[KOPMOPAH]

Първо, да се оправим с формулите. За да не се получава тази грозна картина

а^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc.cos\gamma
c^{2}=10+2-2\sqrt{2}c \frac{\sqrt{2}}{2}

трябва да се сложи по един знак "долар" \$ преди и след формулата и да изглежда така

\$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc.cos\gamma\$
\$c^{2}=10+2-2\sqrt{2}c \frac{\sqrt{2}}{2}\$

Тогава ще получим:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc.cos\gamma$
$c^{2}=10+2-2\sqrt{2}c \frac{\sqrt{2}}{2}$

Така формулите са по-красиви, но са грешни

Нататък - по условие са дадени страните $a$ и $b$, както и ъгъл $\alpha$! (а не $\gamma$), и се търси страната $c$.
Косинусовата теорема изглежда така:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc.\cos\alpha$
$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac.\cos\beta$
$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab.\cos\gamma$

В конкретния случай използваме първата формула:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc.\cos\alpha$
$(\sqrt {10})^2=(\sqrt {2})^2+c^2-2.\sqrt 2 c.\cos 45^\circ$
$10=2+c^2-2.\sqrt 2 c.\frac {\sqrt 2}2$
$10=2+c^2-2.\cancel{\sqrt 2} c.\frac {\cancel{\sqrt 2}}{\cancel 2}$

Получаваме квадратно уравнение спрямо $c$:

$c^2-2c-8=0$ с корени $4$ и $-2$, от които в учебника съвсем правилно е посочен само положителният