Задачи с косинусова теорема

[Гост]

Здравейте!
Предстои ми контролно по математика върху този материал и учителката ни даде няколко задачи,за да се упражняваме.Ще дам условията на някои от тях,които не успях да реша.И много ще се радвам , ако някой ми покаже как се решават
Много Ви благодаря още от сега !

1.Една от страните на триъгълник е два пъти по-голяма от другата , а ъгълът между тях е 60 градуса. Докажете че триъгълника е правоъгълен.

2.В триъгълник са построени височините АD и СЕ.Ако ВС=а , АВ=с и DЕ/АС=к , намерете АС.

3.В равнобедрен триъгълник АВС е построена медиана към бедрото (АС=ВС=4). Да се намери основата , ако дължината на медианата е 3.

4.В трапец АВСD са дадени: АВ=7 и СD=3 (основи),ВС=5 и AD=2. Да се определят ъглите.

[S.B.]

Без заглавие (21).png (147.19 KiB) Прегледано 432 пъти

1.Една от страните на триъгълник е два пъти по-голяма от другата , а ъгълът между тях е 60 градуса. Докажете че триъгълника е правоъгълен.

Нека $AB = 2a,AC = a, \angle BAC = 60^\circ$
Прилагам косинусова теорема за страната $BC$ : [tex]BC^{2} = (2a)^{2} + a^{2} - 2 .2a.a.cos60^\circ = 5a^{2} - 2a^{2} = 3a^{2}[/tex]
$BC = a\sqrt{3 } ,AB = 2a , AC = a \Rightarrow AB$ е най голяма и срещу нея ще лежи най - голямият ъгъл.
За $AB$ прилагам косинусова теорема :[tex]AB^{2} = AC^{2} + BC^{2} - 2AC.BC.cos\angle C \Rightarrow cos\angle C = \frac{AC^{2} + BC^{2} - AB^{2}}{2.AC.BC} \Leftrightarrow cos\angle C = \frac{3a^{2} +a^{2} - 4a^{2} }{a^{2}\sqrt{3}} = 0[/tex] или $cos\angle C = 0 \Rightarrow \angle C = 90^\circ$

[Евва]

3 зад. Лесна е,ще се справиш .

1.Намери cos[tex]\gamma[/tex] като работиш в[tex]\triangle[/tex]АМС ( т.М-среда на ВС )

2.Използвай cos T за[tex]\triangle[/tex]АВС и ще намериш АВ=[tex]\sqrt{10}[/tex]

[S.B.]

Без заглавие (23).png (185.01 KiB) Прегледано 405 пъти

3.В равнобедрен триъгълник АВС е построена медиана към бедрото (АС=ВС=4). Да се намери основата , ако дължината на медианата е 3.

Продължавам медианата $AM$ до т.$N$ така,че $AM = MN$.Полученият четриъгълник $ABNC$ е успоредник,защото диагоналите му се разполовяват ($CM = BM , AM = MN$).Тогава в [tex]\triangle BNM[/tex] имаме $BM = 2,BN = 4,NM = 3$
За него прилагам косинусова теорема:[tex]BN^{2} = BM^{2} + MN^{2} - 2.BM.MN.cos\alpha \Leftrightarrow cos\alpha = \frac{BN^{2} - BM^{2} - MN^{2}}{-2.BM.MN}[/tex]
[tex]cos\alpha = \frac{16 - 4 - 9}{-12} , cos\alpha - \frac{1}{4} \Rightarrow \alpha >90^\circ ,\angle AMB = \pi - \alpha < 90^\circ[/tex]
За $\triangle ABM$ прилагам косинусова теорема :
$AB^{2} = AM^{2} + BM^{2} - 2.AM.BM.cos(\pi - \alpha) = 9 + 4 - 2.3.2.\frac{1}{4} = 13 - 3 = 10$
$AB^{2} = 10 \Rightarrow AB = \sqrt{10}$

[S.B.]

Без заглавие (22).png (175.87 KiB) Прегледано 373 пъти

2.В триъгълник са построени височините АD и СЕ.Ако ВС=а , АВ=с и DЕ/АС=к , намерете АС.

От чертежа: [tex]\triangle CEB \approx \triangle ADB \Rightarrow \frac{CE}{AD} = \frac{CB}{AB} = \frac{EB}{DB}[/tex]
От [tex]\frac{CB}{AB} = \frac{EB}{DB}[/tex] и $\angle B$ общ $\Rightarrow \triangle ABC \approx \triangle DEB \Rightarrow \frac{DB}{AB} = \frac{BE}{BC} = \frac{DE}{AC} = k $
Но от $\triangle ABD$ имаме $\frac{DB}{AB} = cos\angle B$ и $ \frac{DB}{AB} = k \Rightarrow cos\angle B= k$
За $\triangle ABC $ прилагам косинусова теорема :

[tex]AC^{2} = BC^{2} + AB^{2} - 2.AB.BC.cos\angle B = a^{2} + c^{2} -2ack[/tex]

[tex]AC = \sqrt{a^{2} + c^{2} - 2ack}[/tex]

[Гост]

3 зад.

Потребител : Евва
Можете ли да напишете цялото решение ?

Защото пробвах по този начин, но за косинуса на ъгъл гама получавам [tex]\frac{11}{16}[/tex] и не мога да го превърна в градуси, затова го оставям така , но не се получава тогава АВ да е равно на [tex]\sqrt{10}[/tex]

[S.B.]

Без заглавие (24).png (162.79 KiB) Прегледано 350 пъти

4.В трапец АВСD са дадени: АВ=7 и СD=3 (основи),ВС=5 и AD=2. Да се определят ъглите.

Не бива да Ви очудва вида на трапеца!По дефиниция четриъгълник на който две от страните са успоредни,но другите две не са е трапец.
Построявам права $CM || AD$ и получавам успоредника $AMCD$ и [tex]\triangle MBC[/tex] със страни $MB = 4 ,BC = 5 ,MC = 2$ и ъгли $\alpha = \angle BAD ,\beta = \angle ABC$
Прилагам косинусова теорема за $ \angle\alpha$
$cos\alpha = \frac{BC^{2} - MC^{2} - BM^{2}}{- 2.MC.BM} = \frac{25 - 4 - 16 }{- 2.2.4} = - \frac{5}{16} $
$\angle ADC = \pi - \alpha \Rightarrow cos\angle ADC = cos(\pi - \alpha) = - cos\alpha = \frac{5}{16}$
Прилагам косинусова теорема за $\angle \beta$
$cos\beta = \frac{MC^{2} - MB^{2} - BC^{2}}{- 2.MB.BC} = \frac{4 - 25 - 16}{- 40} = \frac{37}{40}$
$\angle BCD = \pi - \beta \Rightarrow cos\angle BCD = cos(\pi - \beta) = - cos\beta = - \frac{37}{40}$

[Евва]

3 зад.
([tex]\triangle[/tex]АМС-cos T) [tex]AM^{2}[/tex]=[tex]AC^{2}[/tex]+[tex]MC^{2}[/tex]-2AC.MC.cos[tex]\gamma[/tex]

[tex]3^{2}[/tex]=[tex]4^{2}[/tex]+[tex]2^{2}[/tex]-2.4.2cos[tex]\gamma[/tex]

cos[tex]\gamma[/tex]=[tex]\frac{11}{16}[/tex]

Скрит текст: покажи

Гост,правилно си решил задачата до тук и няма нужда да търсим ъгъл [tex]\gamma[/tex] в градуси .

([tex]\triangle[/tex]ABC-cos T) [tex]AB^{2}[/tex]=[tex]AC^{2}[/tex]+[tex]BC^{2}[/tex]-2AC.BC.cos[tex]\gamma[/tex]

[tex]AB^{2}[/tex]=[tex]4^{2}[/tex]+[tex]4^{2}[/tex]-2.4.4.[tex]\frac{11}{16}[/tex]

[tex]AB^{2}[/tex]=16+16-22

[tex]AB^{2}[/tex]=10

AB=[tex]\sqrt{10}[/tex]