Косинусова и синусова теорема

[Гост]

1.Върху страната AB на триъгълник АВС е взета точка M,такава,че MA=4см,МВ=5см,МС=8см.Ако АС=6см,намерете ВС.


2.В триъгълник ABC ъгъл С=60 градуса и AC:BC=2:3.Върху страната АС е взета точка М така,че МВ=АВ.Намерете отношението АМ:МС.

[S.B.]

Без заглавие (6).png (232.03 KiB) Прегледано 311 пъти

1.Върху страната AB на триъгълник АВС е взета точка M,такава,че MA=4см,МВ=5см,МС=8см.Ако АС=6см,намерете ВС.

За [tex]\triangle AMC[/tex] прилагам косинусова теорема: $AC^{2} = AM^{2} + CM^{2} - 2.AM.CM.cos\varphi \Leftrightarrow cos\varphi = \frac{6^{2} - 8^{2} - 4^{2}}{-2.4.8} \Rightarrow cos\varphi = \frac{11}{16} \Rightarrow cos(180^\circ - \varphi) = - \frac{11}{16}$
За $\triangle MBC$ прилагам косинусова теорема : $ BC^{2} = MB^{2} + MC^{2} - 2.MB.MC.cos(180^\circ - \varphi) \Leftrightarrow$
$ BC^{2} = 8^{2} + 5^{2} + 2.8.5.\frac{11}{16} \Rightarrow BC^{2} = 144$
$$BC = 12$$

[S.B.]

Без заглавие (17).png (210.52 KiB) Прегледано 309 пъти

2.В триъгълник ABC ъгъл С=60 градуса и AC:BC=2:3.Върху страната АС е взета точка М така,че МВ=АВ.Намерете отношението АМ:МС.

$AC : BC = 2 : 3 \Rightarrow AC = 2x , BC = 3x$
За [tex]\triangle ABC[/tex] прилагам косинусова теорема:
$AB^{2} = AC^{2} + BC^{2} - 2.AC.BC.cos60^\circ \Leftrightarrow AB^{2} = (2x)^{2} + (3x)^{2} - 2.2x.3x.\frac{1}{2} \Rightarrow AB = x\sqrt{7}$
Нека $CM = y , BM = AB = x\sqrt{7}$
За $\triangle BMC$ прилагам косинусова теорема:
$BM^{2} = MC^{2} + BC^{2} - 2.MC.BC.cos60^\circ \Leftrightarrow 7x^{2} = y^{2} + (3x)^{2} - 2.3x.y.\frac{1}{2} \Leftrightarrow$
$y^{2} - 3xy + 2x^{2} = 0 $ с корени $y_{1 } = 2x = AC$ не е решение и $y_{2 } = x$
$\Rightarrow AM = 2x - y = x \Rightarrow AM : MC = 1 : 1$

[Гост]

Макар и със закъснение, благодаря!