синусова и косинусова теорема в триъгълник

[Гост]

В триъгълник са построени медианите AM и CN. АМ=BC. <CAB=<NCB. намерете косинуса на ъгъла между медианите

[Евва]

Решението ми е дългичко .
Преди да го пратя,ще помоля Гост да потвърди,че съм получила верен отговор .
Получих отговор [tex]\frac{1}{8}[/tex] .

[Гост]

язе [tex]\frac{3\sqrt{5}}8b}[/tex] получих

[Гост]

*[tex]\frac{3\sqrt{5}}{8}[/tex]

[Гост]

*1/8

[Davids]

Triangle.png (15.99 KiB) Прегледано 722 пъти

Означаваме също $AC = b; AB = c$.
По формулата за дължина на медиана имаме
$4m_a^2 = 2(c^2 + b^2) - a^2$
$\Rightarrow c^2 + b^2 = 5.18x^2$

Паралелно с това от подобието $\triangle NBC \sim \triangle CAB \Rightarrow \frac{6x}{c} = \frac{c}{2.6x} \Rightarrow c^2 = 4.18x^2$.

Заместваме горе и оттам получаваме същo $b^2 = 18x^2$. Така $c = 6\sqrt{2}x$ и $b = 3\sqrt{2}x$.

От косинусова теорема за $\triangle ABC$ имаме:
$36x^2 = c^2 + b^2 - 2bccos\alpha$
$\Rightarrow cos\alpha = \frac{3.9x^2}{bc} = \frac{3.9x^2}{6.3.2x^2} = \frac{3}{4}$
$\Rightarrow sin\alpha = \frac{\sqrt{7}}{4}$

По синусова теорема за $\triangle GMC$:
$\frac{2x}{sin\alpha} = \frac{3x}{sin\varphi} \Rightarrow sin\varphi = \frac{3}{2}sin\alpha = \frac{3\sqrt{7}}{8}$

$\Rightarrow \boxed{cos\varphi = \frac{1}{8}}$

[Гост]

[tex]\cos\varphi=\pm \frac{1}{8}[/tex]-как реши, че [tex]\varphi[/tex] е остър?

[Davids]

[tex]\cos\varphi=\pm \frac{1}{8}[/tex]-как реши, че [tex]\varphi[/tex] е остър?

Някой веднъж беше ми казал... че като не е определено кой точно ъгъл между две прави се търси, то по подразбиране взимаме острия. Тук из форума го четох

[Гост]

[tex]\cos\varphi=\pm \frac{1}{8}[/tex]-как реши, че [tex]\varphi[/tex] е остър?

Някой веднъж беше ми казал... че като не е определено кой точно ъгъл между две прави се търси, то по подразбиране взимаме острия. Тук из форума го четох

Да, де...въпросът е как реши, че [tex]\varphi[/tex] е остър.

[Евва]

Ето и моето решение .Нека АВ=с ,ВС=АМ=2а ,т.G-медицентър ,[tex]\angle[/tex]ВМА=[tex]\mu[/tex]

1.[tex]\triangle[/tex]ABC[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]NBC (1пр.) [tex]\frac{2a}{\frac{с}{2}}[/tex]=[tex]\frac{с}{2а}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] с=а[tex]\sqrt{8}[/tex]

2.([tex]\triangle[/tex]ABM-cos T) 8[tex]a^{2}[/tex]=4[tex]a^{2}[/tex]+[tex]a^{2}[/tex]-2.2a.a.cos[tex]\mu[/tex] ...

cos[tex]\mu[/tex]=-[tex]\frac{3}{4}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] cos([tex]\angle[/tex]AMC)=[tex]\frac{3}{4}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] sin([tex]\angle[/tex]AMC)=[tex]\frac{\sqrt{7}}{4}[/tex]

3.([tex]\triangle[/tex]GMC-cos T) [tex]GC^{2}[/tex]=[tex]\frac{4a^{2}}{9}[/tex]+[tex]a^{2}[/tex]-2.[tex]\frac{2a}{3}[/tex].a.cos([tex]\angle[/tex]GMC) ...

GC=[tex]\frac{2a}{3}[/tex]

4.([tex]\triangle[/tex]GMC-sin T) [tex]\frac{a}{sin\varphi}[/tex]=[tex]\frac{\frac{2a}{3}}{\frac{\sqrt{7}}{4}}[/tex] ... sin[tex]\varphi[/tex]=[tex]\frac{3\sqrt{7}}{8}[/tex]

5.cos[tex]\varphi[/tex]=[tex]\sqrt{1-\frac{63}{64}}[/tex]=[tex]\frac{1}{8}[/tex]