Остроъгълен триъгълник вписан в окръжност

[Гост]

В окръжност с център О и радиус R е вписан остроъгълен триъгълник с ъгли [tex]\alpha, \beta, \gamma[/tex] и ортоцентър H. Да се намерят разстоянията от H до върховете на триъгълника.

[Евва]

Скрит текст: покажи

Решението намерих из стария форум.

Дадено : R [tex]\alpha[/tex],[tex]\beta[/tex],[tex]\gamma[/tex]
____________________________________
AH=? BH=? CH=?

Построяваме А[tex]А_{1 }[/tex] , В[tex]В_{1 }[/tex] , С[tex]С_{1 }[/tex]-височини

([tex]\triangle[/tex]А[tex]А_{1 }[/tex]С-прав.) cos[tex]\gamma[/tex]=[tex]\frac{CA_{1 }}{AC}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] C[tex]A_{1 }[/tex]=AC.cos[tex]\gamma[/tex]

([tex]\triangle[/tex]H[tex]A_{1 }[/tex]C-прав.) [tex]\angle[/tex]СН[tex]А_{1 }[/tex]=[tex]\angle[/tex]АВС=[tex]\beta[/tex] ( ъгли с взаимноперпендикулярни рамене от един и същ вид )

sin[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{CA_{1 }}{CH}[/tex]

CH=[tex]\frac{CA_{1 }}{sin\beta}[/tex]=[tex]\frac{AC.cos\gamma}{sin\beta}[/tex]( ползваме sin.теорема )=2R.cos[tex]\gamma[/tex]

[Евва]

Скрит текст: покажи

Ето едно мое разсъждение .

1. [tex]\frac{BC}{sin\alpha}[/tex]=2R [tex]\Rightarrow[/tex] BC=2R.sin[tex]\alpha[/tex]

2. ([tex]\triangle[/tex][tex]B_{1 }[/tex]BC) cos[tex]\angle[/tex]BC[tex]B_{1 }[/tex]=[tex]\frac{B_{1 }C}{BC}[/tex]

cos[tex]\gamma[/tex]=[tex]\frac{B_{1 }C}{2R.sin\alpha}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]B_{1 }[/tex]C=2R.sin[tex]\alpha[/tex].cos[tex]\gamma[/tex]

3. ([tex]\triangle[/tex][tex]B_{1 }[/tex]HC) cos[tex]\angle[/tex][tex]B_{1 }[/tex]CH=[tex]\frac{B_{1 }C}{CH}[/tex]

cos(90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex])=[tex]\frac{2R.sin\alpha.cos\gamma}{CH}[/tex]

CH=[tex]\frac{2R.sin\alpha.cos\gamma}{sin\alpha}[/tex]

CH=2R.cos[tex]\gamma[/tex]