Синусова теорема

[Гост]

В триъгълник 2 от страните са 6 и 4 а страните срещу тях се отнасят 1:2. Да се намери третата страна

[Добромир Глухаров]

В триъгълник 2 от страните са 6 и 4 а ъглите срещу тях се отнасят 1:2. Да се намери третата страна

Срещу по-голямата страна лежи по-големия ъгъл. Срещу страната с дължина 4 - ъгъл $\alpha$, а срещу страната с дължина 6 - ъгъл $2\alpha$.

От Синусова теорема имаме:

$\frac{6}{sin(2\alpha)}=\frac{4}{sin\alpha}=\frac{x}{sin(180^\circ-2\alpha-\alpha)}$

$6sin\alpha=4sin(2\alpha)\Leftrightarrow 6sin\alpha=4.2sin\alpha.cos\alpha\Leftrightarrow3=4cos\alpha$

$\boxed{cos\alpha=\frac{3}{4}}\Rightarrow cos^2\alpha=\frac{9}{16};\ sin^2\alpha=1-cos^2\alpha=1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}$

$4sin(180^\circ-3\alpha)=x.sin\alpha$

$4sin(2\alpha+\alpha)=xsin\alpha$

$4(sin2\alpha cos\alpha+cos2\alpha sin\alpha)=xsin\alpha$

$4.(2sin\alpha cos^2\alpha+cos^2\alpha sin\alpha-sin^3\alpha)=xsin\alpha$

$x=4.(3cos^2\alpha-sin^2\alpha)=4\cdot\left(3\cdot\frac{9}{16}-\frac{7}{16}\right)=\frac{20}{4}=5$

$\boxed{x=5}$