Синусова и косинусова теорема

[Гост]

Може ли помощ със следните задачи?
1 зад. Страните на успоредник са a и b (a>b), диагоналите му имат дължини 8 см и 6 см, а острият ъгъл на успоредника е α. Докажете, че abcos α = 7
2 зад. Страните на успоредник имат дължини 10 см и 6 см, диагоналите му са d1 и d2 (d1>d2), а острият ъгъл между диагоналите му е φ. Докажете, че d1d2cos φ = 64.
3 зад. Даден е остроъгълен триъгълник ABC със страни AB = 5, ∠BAC = 60° и радиус на описаната около триъгълника окръжност R = (7√3)/3. Намерете BC, AC, медианата mc и ъглополовящата lb на триъгълника.
4 зад. Даден е триъгълник ABC със страни BC = 7, AC = 8 и cosβ = 1/7, където β = ∠ABC. Намерете
AB, sin α, където α =∠BAC, медианата mа на триъгълника и радиуса R на описаната окръжност.

[S.B.]

Без заглавие (2).png (173.91 KiB) Прегледано 378 пъти

3 зад. Даден е остроъгълен триъгълник ABC със страни AB = 5, ∠BAC = 60° и радиус на описаната около триъгълника окръжност R = (7√3)/3. Намерете BC, AC, медианата mc и ъглополовящата lb на триъгълника.

За [tex]\triangle ABC[/tex] прилагам С[tex][/tex]инусова теорема :[tex]\frac{CB}{sin\alpha} = 2R \Leftrightarrow CB = \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{14\sqrt{3}}{3}\Rightarrow CB = 7[/tex]
Нека $AC = x$
Прилагам Косинусова теорема:[tex]CB^{2} = AB^{2} + AC^{2} - 2.AB.AC.cos60^\circ \Leftrightarrow 7^{2} = 5^{2} + x^{2} - 2.5.x.\frac{1}{2} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]x^{2} - 5x - 24 = 0 , x_{1,2 } = \frac{5 \pm 11}{2}[/tex] , $x = 8 \Rightarrow AC = 8$
За медианата $m_{c }$ имаш 2 варианта :
1) За $\triangle AMC $ прилагаш косинусова теорема като $AC = 8 , AM = 2,5 ,\alpha = 60^\circ$ и намираш $m_{c } = CM$
2) Използваш формулата $m_{c }^{2} = \frac{1}{4}[2(a^{2} + b^{2}) - c^{2}]$
За ъглополовящата $l_{b }$ също имаш 2 варианта:
1) За $\triangle ABL$ прилагаш Косинусова теорема,като предварително определяш $AL$ от свойството на ъглополовящата :$\frac{AL}{8 - AL} = \frac{5}{7} , AB = 5 ,\alpha = 60^\circ$
2) Използваш формулата : $l_{b } = \frac{2\sqrt{cap(p - b)}}{a + c}$, където $2p = a + b + c $
Или $l_{b } = \sqrt{ac - mn }$ ,където $mn = AL.LC$, което се получава от свойството на ъглополовящата $ \frac{AL}{8 - AL} = \frac{5}{8}$

[S.B.]

Без заглавие (3).png (192.94 KiB) Прегледано 366 пъти

Може ли помощ със следните задачи?
1 зад. Страните на успоредник са a и b (a>b), диагоналите му имат дължини 8 см и 6 см, а острият ъгъл на успоредника е α. Докажете, че abcos α = 7

[tex]\angle ABC = \beta = 180^\circ - \alpha[/tex]
За $\triangle ABC$ прилагам косинусова теорема : $AC^{2} = a^{2} + b^{2} - 2.a.b.cos(180^\circ - \alpha) \Leftrightarrow 8^{2} = a^{2} + b^{2} + 2abcos\alpha$
За $\triangle ABD$ прилагам косинусова теорема : $BD^{2} = a^{2} + b^{2} - 2.a.b.cos\alpha$ $\Leftrightarrow 6^{2} = a^{2} + b^{2} - 2.a.b.cos\alpha$
[tex]\begin{array}{|l} 64 = a^{2} + b^{2} + 2.a.b.cos\alpha\\ 36 = a^{2} + b^{2} - 2.a.b.cos\alpha\end{array}[/tex] Изваждаш почленно и получаваш :
$$28 = 4.a.b.cos\alpha \Rightarrow ab cos\alpha = 7$$

[S.B.]

Без заглавие (19).png (248.44 KiB) Прегледано 353 пъти

2 зад. Страните на успоредник имат дължини 10 см и 6 см, диагоналите му са d1 и d2 (d1>d2), а острият ъгъл между диагоналите му е φ. Докажете, че d1d2cos φ = 64.

Подлагам на транслация с вектор $ \vec{DC}$ диагоналът $DB, DB\rightarrow CB_{1 } , \angle ACB_{1 } = \angle AOB = 180^\circ - \varphi$
За [tex]\triangle AB_{1 }C[/tex] прилагам косинусова теорема :
$AB_{1 }^{2} = AC^{2} + B_{1 }C^{2} - 2 AC.B_{1 }C .cos(180^\circ - \varphi) \Leftrightarrow 20^{2} = d_{1 }^{2} + d_{2 }^{2} + 2.d_{1 }.d_{ }.cos\varphi$
Подлагам на транслация с вектор $\vec{CB}$ диагоналът $AC,AC \rightarrow BA_{1 } , \angle DBA_{1 } = \angle DOA = \varphi$
За $\triangle A_{1 }BD$ прилагам косинусова теорема:
$A_{1 }D^{2} = DB^{2} + A_{1 }B^{2} - 2.DB.A_{1 }B.cos\varphi \Leftrightarrow 12^{2} = d_{1 }^{2} + d_{2 }^{2} - 2.d_{1 }.d_{2 }.cos\varphi$
[tex]\begin{array}{|l} 400 = d_{1 }^{2} + d_{2 }^{2} + 2d_{1 }d_{2 }cos\varphi\\144 = d_{1 }^{2} + d_{2 }^{2} - 2d_{1 }d_{2 }cos\varphi \end{array}[/tex]

Изваждаш почленно и получаваш : $256 = 4d_{1 }d_{2 }cos\varphi \Rightarrow$
$$d_{1 }d_{2 }cos\varphi = 64$$

[S.B.]

Без заглавие.png (192.59 KiB) Прегледано 349 пъти

4 зад. Даден е триъгълник ABC със страни BC = 7, AC = 8 и cosβ = 1/7, където β = ∠ABC. Намерете
AB, sin α, където α =∠BAC, медианата mа на триъгълника и радиуса R на описаната окръжност.

[tex]cos\beta = \frac{1}{7} \Rightarrow sin\beta = \frac{4\sqrt{3}}{7}[/tex]
Прилагам синусова теорема : [tex]\displaystyle \frac{AC}{sin\beta} =\displaystyle \frac{CB}{sin\alpha} = 2R \Leftrightarrow\displaystyle \frac{8}{\displaystyle\frac{4\sqrt{3}}{7}} = \displaystyle \frac{7}{sin\alpha} = 2R[/tex]
От [tex]\frac{8.7}{4\sqrt{3}} = \frac{7}{sin\alpha} \Rightarrow sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex] или $\alpha = 60^\circ$; От [tex]\frac{8.7}{4\sqrt{3}} = 2R \Rightarrow R = \frac{7\sqrt{3}}{3}[/tex]
Нека $AB = x$, Прилагам косинусова теорема за $\triangle ABC$ :
$CA^{2} = AB^{2} + BC^{2} - 2.AB.BC.cos\beta\Leftrightarrow 8^{2} = x^{2} + 7^{2} - 2.7.x.\frac{1}{7}$
$x^{2} - 2x -15 = 0 ,x_{1.2 } =\frac{2 \pm 8}{2}, x = 5,\Rightarrow AB = 5$
За [tex]\triangle ABM[/tex] прилагам косинусова теорема :
$AM^{2} = AB^{2} + BM^{2} - 2.AB.BM.cos\beta \Leftrightarrow m_{a }^{2} = 5^{2} + 3,5^{2} - 2.5.3,5.\frac{1}{7} = 32,25 \Rightarrow m_{a } = \sqrt{32,25} \approx 5,67 $