Лице на трапец

[Гост]

Острият ъгъл на равнобедрен трапец е α, а бедрото и малката му основа са равни на 5 см.
Намерете диагоналите, лицето на трапеца и радиуса на описаната около него окръжност.

Да се намерят диагоналите и радиуса на окръжността, описана около равнобедрен трапец с основи 9 см и 3 см и ъгъл α при голямата основа. Намерете лицето на трапеца.

Даден е равнобедрен трапец ABCD с основи AB = a, CD = b (a>b) и ∠А = α. Намерете лицето на трапеца.

[S.B.]

Без заглавие (54).png (232.08 KiB) Прегледано 1646 пъти

Острият ъгъл на равнобедрен трапец е α, а бедрото и малката му основа са равни на 5 см.
Намерете диагоналите, лицето на трапеца и радиуса на описаната около него окръжност.

Нека [tex]AB = x ,CH = h ,AC = d[/tex]
От $\triangle HCB \rightarrow \frac{HB}{BC} = cos\alpha \Leftrightarrow \frac{x - 5}{2} = 5cos\alpha \Rightarrow x = 5(2cos\alpha + 1)$
$\frac{h}{5} = sin\alpha \Rightarrow h = 5sin\alpha$
$S = \frac{x + 5}{2}h \Leftrightarrow S= \frac{5(2cos\alpha +1) + 5}{2}.5sian\alpha = 25(cos\alpha + 1)sin\alpha = 50cos^{2}\frac{\alpha}{2}sin\alpha$
От $\triangle AHC$ по П)итагор : $d^{2} = AH^{2} + h^{2}$ , $AH = x - \frac{x - 5}{2} = 5(2cos\alpha + 1) - 5cos\alpha = 5(2cos\alpha + 1 - cos\alpha) = 5(cos\alpha + 1) = 10sin^{2}\frac{\alpha}{2}$
$d^{2} = 100sin^{4}\frac{\alpha}{2} + 25sin^{2}\alpha = 100sin^{4}\frac{\alpha}{2} + 100sin^{2}\frac{\alpha}{2}cos^{2}\frac{\alpha}{2} = 100sin^{2}\frac{\alpha}{2}(sin^{2}\frac{\alpha}{2} + cos^{2}\frac{\alpha}{2}) = 100sin^{2}\frac{\alpha}{2}$
$d = 10sin\frac{\alpha}{2}$
За $\triangle ABC$ прилагам синусова теорема: $\displaystyle \frac{d}{sin\alpha} = 2R \Leftrightarrow \displaystyle \frac{10sin\displaystyle \frac{\alpha}{2}}{sin\alpha} = 2R \Rightarrow R = \displaystyle \frac{5}{2cos\displaystyle \frac{\alpha}{2}}$

[S.B.]

\Rightarrow

Без заглавие (61).png (188.43 KiB) Прегледано 1633 пъти

Да се намерят диагоналите и радиуса на окръжността, описана около равнобедрен трапец с основи 9 см и 3 см и ъгъл α при голямата основа. Намерете лицето на трапеца.

Даден е равнобедрен трапец ABCD с основи AB = a, CD = b (a>b) и ∠А = α. Намерете лицето на трапеца.

И двете задачи се решават по един и същи начин,за това съм дала общ чертеж
1.Задача $a = 9,b= 3$
От [tex]HBC \rightarrow \frac{HC}{HB} = tg\alpha \Leftrightarrow h = \frac{a - b}{2} tg\alpha , S = \frac{a + b}{2}.h[/tex],
От $\triangle AHC \rightarrow AC^{2} = AH^{2} + CH^{2} \Leftrightarrow d^{2} = (\frac{a + b}{2})^{2} + h^{2}$ (по Питагор)
За $\triangle ABC \rightarrow \frac{AC}{sin\alpha} = 2R \Leftrightarrow \frac{d}{sin\alpha} = 2R \Rightarrow R = \frac{d}{2sin\alpha}$ (Прилагаш синусова теорема)
2.Задача - решаваш само с параметрите $a$ и $b$
[tex]\angle B = \angle A = \alpha[/tex] ,защото трапецът е равнобедрен
Мисля,че това е достатъчно,такива задачи сме решавали много.Прегледай ги! Успех!

[Евва]

Малка грешка при 1 зад. cos[tex]\alpha[/tex]+1[tex]\ne[/tex][tex]sin^{2}[/tex][tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]

d може да намерим и чрез cos T за [tex]\triangle[/tex]АCD .