Триъгълник

[Гост]

За триъгълник ABC е дадено ,че а=2b ( ъгъл BAC= a , ъгъл ABC= b ) . За страните AB= c , BC= a и AC= b , докажете че е вярно
a*a = b*( b + c )

[Евва]

Аз разбирам условието така:
Даден е [tex]\triangle[/tex]АВС с [tex]\angle[/tex]ВАС=[tex]\alpha[/tex] и [tex]\angle[/tex]АВС=[tex]\beta[/tex],за които е изпълнено,че [tex]\alpha[/tex]=2[tex]\beta[/tex] .
За страните ВС=a ,AC=b ,AB=c ,докажете,че [tex]a^{2}[/tex]=b(b+c)

Построяваме AL-ъглопол.на [tex]\angle[/tex]ВАС и т.L лежи на отс.ВС . CL=?
(AL-ъглополовяща) [tex]\frac{BL}{CL}[/tex]=[tex]\frac{AB}{AC}[/tex] т.е. [tex]\frac{BL}{CL}[/tex]=[tex]\frac{c}{b}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] BL=cx ,CL=bx
Знаем,че ВС=а [tex]\Rightarrow[/tex] cx+bx=a ; x=[tex]\frac{a}{b+c}[/tex] Тогава CL=bx=[tex]\frac{ab}{b+c}[/tex] (1)

[tex]\triangle[/tex]ABC[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]ALC (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{BC}{AC}[/tex]=[tex]\frac{AC}{LC}[/tex] т.е.
[tex]\frac{a}{b}[/tex]=[tex]\frac{b}{\frac{ab}{b+c}}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]a^{2}[/tex]=b(b+c)