Редица

[Гост]

За редицата а1, а2, а3.... е дадено: а1=1, а2=3, аn =3(an-1) - x^{y}(аn-2) за n[tex]\ge[/tex]3. аn=?

[Гост]

За редицата а1, а2, а3.... е дадено: а1=1, а2=3, аn =3(an-1) - (аn-2) за n>=x^{y}3. аn=?

Редактирано

[Гост]

За редицата а1, а2, а3.... е дадено: а1=1, а2=3, аn =3(an-1) - (аn-2) за n[tex]\ge[/tex]3. аn=?

[S.B.]

За редицата а1, а2, а3.... е дадено: а1=1, а2=3, аn =3(an-1) - (аn-2) за n[tex]\ge[/tex]3. аn=?

Ако правилно съм разбрала :
За редицата [tex]a_{1 },a_{2 },a_{3 }.....[/tex]
$a_{1 } = 1 , a_{2 } = 3$
$a_{n } = 3a_{n - 1 } - a_{n - 2 }$ за $n\ge3$
Какво се търси? Не е $a_{n }$ ,защото нали е дадено,че $a_{n } = 3a_{n - 1 } - a_{n - 2 }$ ?

[Sup3rlum]

Ако правилно съм разбрала :
За редицата [tex]a_{1 },a_{2 },a_{3 }.....[/tex]
$a_{1 } = 1 , a_{2 } = 3$
$a_{n } = 3a_{n - 1 } - a_{n - 2 }$ за $n\ge3$
Какво се търси? Не е $a_{n }$ ,защото нали е дадено,че $a_{n } = 3a_{n - 1 } - a_{n - 2 }$ ?

Търси се генерална форма на $a_n=\psi(n)$.

На англ това е homogenous recurrence relation, и се решава чрез намиране корените на характерното уравнение.

Характерното уравнение на $a_n=3a_{n-1}-a_{n-2}$ е
$x^2-3x+2=0$, което има корени $x_1=-1,x_2=-2$

$\psi(n)=\alpha (-1)^n+\beta(-2)^n$

$a_1=\psi(1)=-\alpha-2\beta=1$
$a_2=\psi(2)=\alpha+4\beta=3$

$3-4\beta=-1-2\beta \Rightarrow \beta = 2, \alpha=-5$

$\Rightarrow \boxed{a_n=-5(-1)^n+2(-2)^n}$

[Гост]

Не беше ли ХАРАКТЕРИСТИЧНО, а не ХАРАКТЕРНО уравнението?

[Knowledge Greedy]

Характеристичното уравнение на [tex]\left \{ a_n \right \}_{n=1}^{\infty}[/tex], което аз виждам - ако е зададена с формулата
[tex]a_n=3a_{n-1}-a_{n-2}[/tex]
e
[tex]x^2-3x+1=0[/tex]
С неговите корени [tex]x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}[/tex] и с техниката , която показа Sup3rlum, ще получим формулата за общия член - т.е. непосредственото изразяване на [tex]a_n[/tex] като явна функция на номера [tex]n[/tex].
____________
Между другото, сега забелязах, че Sup3rlum освен уравнението е сбъркал и характеристичните корени -
на [tex]x^2-3x+2=0[/tex] са [tex]1[/tex] и [tex]2[/tex], така че му пожелавам приятни сънища и да си отпочине - явно е имал тежък ден.

[Knowledge Greedy]

Членове на нашата редица са числата на Фибоначи, които са с четни номера. лека нощ!

[Гост]

Характеристичните корени на [tex]a_n=3a_{n-1}-a_{n-1}[/tex]
са [tex]\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}[/tex]

Общият член на редицата е от вида [tex]a_n=C_1\frac{3 + \sqrt{5}}{2}+C_1\frac{3 - \sqrt{5}}{2}[/tex]
Поради това, че
[tex]\frac{3 + \sqrt{5}}{2}=\left (\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^2[/tex]
се вижда сходство с общия член на редицата на Фибоначи, за която [tex]f_n=fa_{n-1}+f_{n-1}[/tex]
и чиито общ член [tex]f_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left [ \left (\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^n-\left (\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^n \right ][/tex] – формула на Бинé.
С техниката, която показа Sup3rlum откриваме [tex]C_1=-C_2=\frac{1}{\sqrt{5}}[/tex]
и веднага се забелязва връзката [tex]a_n=f_{2n}[/tex], което формално доказва твърдението ми отсреднощ.

[Sup3rlum]

Характеристичното уравнение на [tex]\left \{ a_n \right \}_{n=1}^{\infty}[/tex], което аз виждам - ако е зададена с формулата
[tex]a_n=3a_{n-1}-a_{n-2}[/tex]
e
[tex]x^2-3x+1=0[/tex]
С неговите корени [tex]x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}[/tex] и с техниката , която показа Sup3rlum, ще получим формулата за общия член - т.е. непосредственото изразяване на [tex]a_n[/tex] като явна функция на номера [tex]n[/tex].
____________
Между другото, сега забелязах, че Sup3rlum освен уравнението е сбъркал и характеристичните корени -
на [tex]x^2-3x+2=0[/tex] са [tex]1[/tex] и [tex]2[/tex], така че му пожелавам приятни сънища и да си отпочине - явно е имал тежък ден.

Тц тц, така става като като пишеш LaTeX на телефон, по време на работа

Мерси за бързите и точни поправки