Редица

[Гост]

Дадена е строго растяща редица. {аk}^[tex]\infty[/tex]k=1 от естествени числа такава, че а1=1, а2=2. Ако (m,n)=1, ти аman=amn. Докажете, че аn=n.

[pal702004]

Дадена е строго растяща редица $a_k$ от ествествени числа такава, че $a_1=1,a_2=2$. Ако $\gcd(m,n)=1$, то $a_ma_n=a_{mn}$.
Докажете, че $a_n=n$ за всяко $n$.

[Гост]

Дадена е строго растяща редица $a_k$ от ествествени числа такава, че $a_1=1,a_2=2$. Ако $\gcd(m,n)=1$, то $a_ma_n=a_{mn}$.
Докажете, че $a_n=n$ за всяко $n$.

Благодарим!

[vezni]

Нека [tex]f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}[/tex] е мултипликативна строго растяща функция, за която [tex]f(2)=2[/tex]. ([tex]f(1)=1[/tex] следва от мултипликативността.) Да се докаже, че [tex]f(n)=n[/tex] за всяко естествено [tex]n[/tex]. Задача 337 в сборника на Чакърян по теория на числата.

[pal702004]

Достатъчно е да се докаже, че $a_3=3$. Нататък е лесно, $a_6=a_2\cdot a_3=6$. Понеже редицата е строго растяща от естествени числа, за $a_4$ и $a_5$ не остава нищо друго, освен стойностите съответно 4 и 5. Тогава $a_{30}=a_6\cdot a_5=30$ и т.н.
Значи трябва да докажем, че при $a_3>3$ се получава противоречие (с условието "строго растяща")
При $a_3>4$ противеречието е $a_{14}<a_{13}$. Доказателство: Да означим $a_3=x,a_4=y,a_5=z$
$a_6=2x>z$

$a_{10}=2z\Rightarrow a_7\le 2z-3\Rightarrow a_{14} \le 4z-6$

Понеже $z\le 2x-1$, то $a_{14} \le 8x-10$

$a_{12}=xy\Rightarrow a_{13} \ge xy+1$. Понеже $y>x$, то $a_{13} \ge x^2+x+1$

Неравенството $x^2+x+1>8x-10$ е изпълнено за всяко $x\ge 5$

Остава да се провери за противоречие случая $a_3=4$. Доказва се аналогично, там $a_{15}$ идва твърде големичко за $a_{18}$
Всъщност доста по-лесно, ще го оставя на създателя на темата.