НОК

[Гост]

Нека за всяко естествено число n[tex]\le[/tex]2 да означим xn=2^{2}^{n}+1. Намерете последната цифра на на НОК на числата х2, х3, ... х1975.

[vezni]

Само ще спомена, че числата [tex]F_n=2^{2^n}+1,n\in\mathbb{N},[/tex] се наричат числа на Ферма.

[pal702004]

Аз ще спомена, че това не са задачи за домашна работа (поне тази и предната от раздела - в никакъв случай). Също така човека(хората) даващи тези интересни задачи от теория на числата да усвоят поне в минимална степен работата с Latex, защото стават недоразумения.
Както отбеляза vezni, това са числата на Ферма. Редицата е от този вид безрайни редици, всички членове на които са взаимно прости (две по две).
Доказателството е лесно. Редицата на Ферма може да се построи по рекурсивен начин:

$F_{n+1}=(F_n-1)^2+1=F_n^2-2F_n+2$

Ако $F_n$ се дели на просто $p$ за някое $n$, тоест $F_n\equiv 0 \pmod p$, то

$F_{n+1}=2 \pmod p$

$F_{n+2}\equiv 2^2-2\cdot 2+2\equiv 2 \pmod p$

и т.н всички следващи членове дават остатък 2 при делене на $p$ (никой от тях не се дели на $p$)

Така че НОК на тези числа е тяхното произведение.
За да намерим остатъка на това произведение по модул 10 е достатъчно да го намерим по модул 2 и 5. Да го означим с $P$

$P\equiv 1 \pmod 2$ - елементарно всички числа на Ферма са нечетни, значи и тяхното произведение.

По модул 5:

$x_2=2^{2^2}+1=17 \equiv 2 \pmod 5$ Оппааааа (ами нормално, $x_1=5$ и както беше казано по-горе, всички следващи са $2\pmod 5$

Значи $P\equiv 2^{1974}\pmod 5$

По малката теорема на Ферма $2^{1972}\equiv 1 \pmod 5$. Следователно $P\equiv 4 \pmod 5$

$P\equiv 9 \pmod {10}$

Което е и последната цифра.