Триъгълник

[Гост]

Даден е равнобедрен триъгълник АВС (АС=ВС). АВ и АС корени на [tex]x^{2}[/tex] -px +q = O. R=?

[S.B.]

Без заглавие (21).png (228.37 KiB) Прегледано 200 пъти

Даден е равнобедрен триъгълник АВС (АС=ВС). АВ и АС корени на [tex]x^{2}[/tex] -px +q = O. R=?

Нека $AB = a ,BC = b, \angle ACB = \gamma$
От синусова теорема [tex]\rightarrow \frac{AB}{sin\gamma} = 2R[/tex]
От уравнението $x^{2} - px + q = 0 \Rightarrow x_{1 ,2} = \frac{p \pm\sqrt{p^{2} - 4q}}{2}$
От условието $AB = a $ и $AC = BC = b$ са корени на това уравнение и нека
$a = x_{1 } = \frac{p - \sqrt{p^{2} - 4q}}{2} , b = x_{2 } = \frac{p + \sqrt{p^{2} - 4q}}{2}$
$R = \displaystyle\frac{a}{2sin\gamma} = \displaystyle\frac{a}{4sin\displaystyle\frac{\gamma}{2}cos\displaystyle\frac{\gamma}{2}} = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{p - \sqrt{p^{2} - 4q}}{2}}{4sin\displaystyle\frac{\gamma}{2}cos\displaystyle\frac{\gamma}{2}} = \displaystyle\frac{p - \sqrt{p^{2} - 4q}}{8sin\displaystyle\frac{\gamma}{2}cos\displaystyle\frac{\gamma}{2}}$
От $\triangle HBC\rightarrow \frac{a}{2b} = sin\frac{\gamma}{2} \Rightarrow sin\frac{\gamma}{2} = \frac{p - \sqrt{p^{2} - 4q}}{2(p + \sqrt{p^{2} - 4q})} =\frac{(p - \sqrt{p^{2} -4q)}^{2}}{2(p^{2} - p^{2} + 4q)}$
$$sin\frac{\gamma}{2} = \frac{(p - \sqrt{p^{2} - 4q})^{2}}{8q}$$
$cos\frac{\gamma}{2} = \sqrt{1 - sin^{2}\frac{\gamma}{2}} = \frac{\sqrt{(8q)^{2} - (p - \sqrt{p^{2} - 4q})^{4}}}{8q} $
$sin\gamma = 2sin\frac{\gamma}{2}cos\frac{\gamma}{2} = \frac{2(p - \sqrt{p^{2} - 4q})^{2}\sqrt{(8q)^{2} - (p - \sqrt{p^{2} - 4q})^{4}}}{(8q)^{2}}$

$R = \frac{a}{2sin\gamma} =............= \frac{8q^{2}}{(p - \sqrt{p^{2} - 4q})\sqrt{(8q)^{2} - (p - \sqrt{p^{2} - 4q})^{4}}}$

Скрит текст: покажи

Набирането на текста е убийствено,може и да имам грешка.Идеята е ясна