Триъгълник

[Гост]

В правоъгълен триъгълник АВС катетът АС=10. Окръжност к с диаметър АС пресича хипотенузата АВ в средата. Ако ВТ е допирателна към окръжността (Т[tex]\in[/tex]к), намерете АТ.

[S.B.]

Без заглавие (50).png (255.57 KiB) Прегледано 178 пъти

В правоъгълен триъгълник АВС катетът АС=10. Окръжност к с диаметър АС пресича хипотенузата АВ в средата. Ако ВТ е допирателна към окръжността (Т[tex]\in[/tex]к), намерете АТ.

Окръжността пресича хипотенузата в средата - т.$M ,AC$ - диаметър [tex]\Rightarrow \angle AMC = 90^\circ \Rightarrow CM\bot AB \Rightarrow CM[/tex] е едновременно височина и медиана $\Rightarrow \triangle ABC $ е равнобедрен.
$AC = BC = 10 \Rightarrow AB = 10\sqrt{2}$
$BT = BC = 10$ - като допирателни от външна т.$B$ към окръжността.
$\triangle OTB \cong \triangle OCB$ ( по катет и хипотенуза) $\Rightarrow \angle BOT = \angle BOC = \varphi \Rightarrow \angle AOT = 180^\circ - 2\varphi$
За $\triangle AOT$ прилагам косинусова теорема :
$AT^{2} = AO^{2} + TO^{2} - 2.AO.TO.cos(180^\circ - 2\varphi) \Leftrightarrow AT^{2} = 2.5^{2}(1 + cos2\varphi) \Leftrightarrow AT^{2} = 2.5^{2}.2cos^{2}\varphi$
$AT = 10.cos\varphi$
За $\triangle OBC \rightarrow $ по Питагор $OB = 5\sqrt{5} , cos\varphi = \frac{OC}{OB} = \frac{5}{5\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$
$$AT = 10.cos\varphi = 10 \frac{\sqrt{5}}{5} \Rightarrow AT = 2\sqrt{5}$$