За кои стойности на параметъра а

[Гост]

WIN_20200221_23_14_06_Pro.jpg (159.77 KiB) Прегледано 439 пъти

Стойностите на реалния параметър $a$, за които уравнението $$a.3^x+3^{-x}-3=0$$ има два реални корена с различни знаци, са:
А) $а < 2$; Б) $a \in (0,2)$; В) $a\in (0,2]$; Г) $a>0$.

[Гост]

задача 16

[Гост]

как да я реша

[123a]

Полагаме $3^x=y>0$ и получаваме

$ay+\frac{1}{y}-3=0$

$ay^2-3y+1=0 (1)$

Задачата се свежда до това да се намерят стойностите на параметъра, за които уравнението $(1)$ има два корена, за които е изпълнено $ 0<y_1<1<y_2$

[Гост]

как да я довърша

[123a]

Поиска помощ- дадох ти насоки. Във всеки учебник за 10 клас има урок за разположение на корените на квадратно улавнение върху числовата ос. Отвори и погледни. Ако нямаш учебник- в интернет е пълно с информация.

[Гост]

отг е а но нали трябва да се върна на полагането

[Гост]

отг е б
обърках

[S.B.]

[tex]a.3^{x} + 3^{-x} - 3 = 0 \Leftrightarrow a.3^{x} + \frac{1}{3^{x}} - 3 = 0 \Leftrightarrow a.3^{2x} - 3.3^{x} + 1 = 0[/tex]
Полагам $3^{x} = t > 0$ и получавам:$ a.t^{2} - 3t + 1 = 0$
Обяснявам: търсим $x_{1 } $ и $x_{2 }$ да бъдат с противоположни знаци , тогава $t = 3^{x} > 1$ , $t = 3^{- x} = \frac{1}{3^{x}} < 1$
Или казано простичко,търсим корените на уравнението $at^{2} - 3t + 1 = 0 $ такива,че $t_{1 } \ne t_{2 }$ като $t_{1 } < 1 < t_{2 }$

От условието уравнението да има два различни корена $t_{1 }\ne t_{2 }$,следва $D > 0 \Leftrightarrow 9 - 4a > 0 $ $$\Rightarrow a < \frac{9}{4} = 2,25$$
Образувам $f(t) = at^{2} - 3t + 1$
$f(t)$ пресича абцисната ос в точки $t_{1 } \ne t_{2 }$ , като $t_{1 } < 1 < t_{2 }$
И както сте учили в 9 клас:
1) За $a > 0 $ графиката на $f(t)$е "вдлъбната" и $f(1)$ е под абцисната ос $ \Rightarrow f(1) < 0$:
$\begin{array}{|l} a \in (0 ; 2,25) \\ f(1) < 0 \end{array} \Rightarrow a - 3 + 1 < 0 \Rightarrow a < 2 \Rightarrow a\in (0 , 2)$

2) За $a < 0 $ графиката на $f(t)$ е "изпъкнала" и $f(1)$ е над абцисната ос
$\begin{array}{|l} a < 0 \\ f(1) > 0 \end{array} \Rightarrow a - 3 + 1 > 0 \Rightarrow a > 2 $ , което е в противоречие с $a<0$

Следователно остава $a \in (0,2)$,отговор Б