Четириъгълник

[Гост]

Върху страните $AB$ и $BC$ на ромба $ABCD$ са взети съответно точките $M$ и $Q$, така че $AM:AB=1:4$ и $BQ:BC=1:2$. Да се намери лицето на ромба и радиусът на вписаната в него окръжност, ако $MQ=\sqrt{3}$ и $MC=\sqrt{5}$.

[S.B.]

Без заглавие (66).png (211.86 KiB) Прегледано 232 пъти

Върху страните $AB$ и $BC$ на ромба $ABCD$ са взети съответно точките $M$ и $Q$, така че $AM:AB=1:4$ и $BQ:BC=1:2$. Да се намери лицето на ромба и радиусът на вписаната в него окръжност, ако $MQ=\sqrt{3}$ и $MC=\sqrt{5}$.

Нека $\angle ABC = \beta > 90^\circ \Rightarrow cos\beta < 0$

За [tex]\triangle MCB[/tex] прилагам Косинусова теорема:
$(\sqrt{5})^{2} = (\frac{3a}{4})^{2} + a^{2} + 2.\frac{3a}{4}.a.cos\beta ...\Leftrightarrow 80 = a^{2}(25 + 24cos\beta)$
За $ \triangle MQB$ прилагам Косинусова теорема:
$(\sqrt{3})^{2} = (\frac{3a}{4})^{2} + (\frac{a}{2})^{2} + 2.\frac{3a}{4}.\frac{a}{2}.cos\beta...\Leftrightarrow 48 = a^{2}(13 + 12cos\beta)$
Образувам система:
$\begin{array}{|l} 80 = a^{2}(25 + 48cos\beta) \\ 48 = a^{2}(13 + 12cos\beta )\end{array}$ деля почленно и получавам: $\frac{5}{3} = \frac{25 + 24cos\beta}{13 + 12cos\beta}$
$5(13 + 12cos\beta) = 3(25 + 24cos\beta) \Leftrightarrow 65 + 60cos\beta = 75 + 72cos\beta \Leftrightarrow - 12cos\beta = 10 \Rightarrow cos\beta = - \frac{5}{6}$
$ 48 = a^{2}(13 - 12.\frac{5}{6}) \Leftrightarrow 48 = 3a^{2} \Leftrightarrow a^{2} = 16 \Rightarrow a = 4$
$ cos\beta = - \frac{5}{6} \Rightarrow sin\beta = \frac{\sqrt{11}}{6}$
$ S_{ABCD } = a^{2}sin\beta \Rightarrow S_{ABCD } = \frac{16\sqrt{11}}{6} \Rightarrow S_{ABCD } = \frac{8\sqrt{11}}{3}$
$S_{ABCD } = p.r \Leftrightarrow \frac{8\sqrt{11}}{3} = 8.r \Rightarrow r = \frac{\sqrt{11}}{3}$

[Евва]

Ето още един начин да намерим страната на ромба-а .
Надявам се,че сте учили формулата за медиана в триъгълник .

[tex]m_{a }[/tex]=[tex]\frac{1}{2}[/tex][tex]\sqrt{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}[/tex]
Според чертежа MQ е медиана в [tex]\triangle[/tex]МВС [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]MQ^{2}[/tex]=[tex]\frac{2MC^{2}+2MB^{2}-BC^{2}}{4}[/tex] т.е.

3.4=2.5+2.[tex]\frac{9а^{2}}{16}[/tex]-[tex]а^{2}[/tex] |.8[tex]\ne[/tex]0

16=[tex]а^{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] а=4