триъгълник

[moni2003petrova]

Точка от хипотенузата на триъгълник ABC (∠С=90º), равноотдалечена от двата катета, дели хипотенузата на отсечки с дължини 30 см и 40 см. Дължината на отсечката, свързваща тази точка със срещуположния връх на ΔАВС, е равна на колко?

[Добромир Глухаров]

Диагонал на квадрат в правоъгълен триъгълник.png (23.05 KiB) Прегледано 344 пъти

$DD_1CD_2-квадрат$

$\Delta ADD_1\sim\Delta ABC\sim\Delta BDD_2$

$\frac{m}{a+m}=\frac{30}{30+40}=\frac{a}{a+n};\frac{n}{a+n}=\frac{30}{30+40}=\frac{a}{a+m}$

$\frac{a}{m}+1=1+\frac{40}{30}=1+\frac{n}{a};1+\frac{a}{n}=1+\frac{30}{40}=1+\frac{m}{a}$

$\begin{array}{|l}3a=4m\\4a=3n\end{array};\ m.n=a^2$

$\Delta AD_1D-Питагорова\ Теорема\Rightarrow m^2+a^2=900\Rightarrow\left(\frac{3a}{4}\right)^2+a^2=900\Rightarrow\frac{25}{16}a^2=900$

$a=\frac{30.4}{5}=24\ cm;\ CD=a\sqrt{2}=24\sqrt{2}\ cm$

[S.B.]

Без заглавие (72).png (233.6 KiB) Прегледано 336 пъти

Точка от хипотенузата на триъгълник ABC (∠С=90º), равноотдалечена от двата катета, дели хипотенузата на отсечки с дължини 30 см и 40 см. Дължината на отсечката, свързваща тази точка със срещуположния връх на ΔАВС, е равна на колко?

И още един поглед върху задачата

Теорема: НДУ една точка да принадлежи на ъглополовящата на даден ъгъл е тя да бъде на равни разстояния от раменете му

По условие [tex]ML = NL \Rightarrow CL[/tex] е ъглополовяща на $\angle ACB$
От свойството на ъглополовящата $\Rightarrow \frac{AL}{LB} = \frac{AC}{BC} \Leftrightarrow \frac{30}{40} = \frac{AC}{BC} \Rightarrow tg\beta = \frac{3}{4}$
$\begin{array}{|l} \displaystyle\frac{sin\beta}{cos\beta} = \displaystyle\frac{3}{4} \\ sin^{2}\beta + cos^{2}\beta = 1 \end{array} \Leftrightarrow \displaystyle \frac{9}{16}cos^{2}\beta + cos^{2}\beta = 1 \Rightarrow cos\beta = \frac{4}{5} ,sin\beta = \frac{3}{5}$
За $\triangle LBC$ прилагам синусова теорема : $\displaystyle\frac{LC}{sin\beta} =\displaystyle \frac{LB}{sin45^\circ} \Leftrightarrow LC = \displaystyle\frac{3}{5}.\displaystyle\frac{40}{\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}} = 24\sqrt{2}$ $$CL = 24\sqrt{2}$$

[Knowledge Greedy]

И още една гледна точка.

Лесно е по стъпките на другите colon P.png (3.82 KiB) Прегледано 301 пъти

Ясно е, че [tex]CD[/tex] е ъглополовяща, свойството на ъглополовящата дава отношението на страните - на чертежа,
формулата за нея също е ясна [tex]l_c=\frac{2ab}{a+b}cos\frac{\gamma}{2}[/tex]
С данните по чертежа
- първо хипотенузата дава [tex]5x=70 \,\ \Rightarrow \,\ x=14[/tex]
- страните [tex]a=4 \times 14 = 56[/tex] и [tex]b=3 \times 14 = 42[/tex]
- ъглополовящата
[tex]l_c=\frac{2.4x.3x}{3x+4x}cos 45^\circ = \frac{24.14}{7}.\frac{\sqrt{2}}{2}=24\sqrt{2}[/tex]