задача за триъгълник

[moni2003petrova]

Даден е ΔАВС. Спусната е височината CD към страната АВ. АD=9см, BD=5см и CD=12см. Точка О1 е център на вписаната окръжност в ΔАCD, а т. О2 е център на вписаната окръжност в ΔBDC. Колко см е радиусът на описаната около ΔО1О2С окръжност?

[Knowledge Greedy]

Означаваме допирните точки на първите две окръжности с [tex]N[/tex] и [tex]T[/tex] - те са от страната AB на дадения триъгълник.
С питагорова теорема за [tex]\triangle ADC[/tex] и за [tex]\triangle BDC[/tex] откриваме
[tex]AC=15[/tex] cm
[tex]BC=13[/tex] cm
С косинусова теорема откриваме [tex]cos\gamma =\frac{33}{65} \,\ \Rightarrow \,\ sin \frac{\gamma}{2}=\frac{4}{\sqrt{65}}[/tex]
[tex]p_{ \triangle ADC}=r_1=3[/tex]
[tex]p_{ \triangle BDC}=r_1=2[/tex]
С нова питагорова теорема - този път за триъгълник с хипотенуза [tex]O_1O_2[/tex], катет [tex]O_1Q=r_1-r_2=1[/tex] cm и втори катет [tex]O_2Q[/tex] равен на допирателната [tex]NT=r_1+r_2=5[/tex] cm,
намираме [tex]O_1O_2=\sqrt{26}[/tex] cm. (Точката [tex]Q\in O_1N[/tex], така че [tex]O_2Q \bot O_1N[/tex])

Определеният със своя синус по-горе, ъгъл [tex]\angle O_1CO_2[/tex] явно е половината от ъгъла при върха, т.к. е образуван от две ъглополовящи.
Остава в [tex]\triangle O_1O_2C[/tex] да приложим синусова теорема и да открием неговия радиус на описаната окръжност.
[tex]R`=\frac{13\sqrt{10}}{8}[/tex] cm

[moni2003petrova]

Означаваме допирните точки на първите две окръжности с [tex]N[/tex] и [tex]T[/tex] - те са от страната AB на дадения триъгълник.
С питагорова теорема за [tex]\triangle ADC[/tex] и за [tex]\triangle BDC[/tex] откриваме
[tex]AC=15[/tex] cm
[tex]BC=13[/tex] cm
С косинусова теорема откриваме [tex]cos\gamma =\frac{33}{65} \,\ \Rightarrow \,\ sin \frac{\gamma}{2}=\frac{4}{\sqrt{65}}[/tex]
[tex]p_{ \triangle ADC}=r_1=3[/tex]
[tex]p_{ \triangle BDC}=r_1=2[/tex]
С нова питагорова теорема - този път за триъгълник с хипотенуза [tex]O_1O_2[/tex], катет [tex]O_1Q=r_1-r_2=1[/tex] cm и втори катет [tex]O_2Q[/tex] равен на допирателната [tex]NT=r_1+r_2=5[/tex] cm,
намираме [tex]O_1O_2=\sqrt{26}[/tex] cm. (Точката [tex]Q\in O_1N[/tex], така че [tex]O_2Q \bot O_1N[/tex])

Определеният със своя синус по-горе, ъгъл [tex]\angle O_1CO_2[/tex] явно е половината от ъгъла при върха, т.к. е образуван от две ъглополовящи.
Остава в [tex]\triangle O_1O_2C[/tex] да приложим синусова теорема и да открием неговия радиус на описаната окръжност.
[tex]R`=\frac{13\sqrt{10}}{8}[/tex] cm

но как се пресмята cos[tex]\gamma[/tex]/2?

[Knowledge Greedy]

Има си формулr.
[tex]cos^2 \frac{\gamma}{2}=\frac{1+cos\gamma}{2}[/tex]

[tex]sin \frac{\gamma}{2}=\sqrt{\frac{1-cos\gamma}{2}}[/tex]