зад. триъгълник

[moni2003petrova]

Даден е ΔАВС и в него са спуснати медианите МА и ВР. ∠АРВ=∠ВМА и cos[tex]\gamma[/tex] = 0,8. BP = 1 см. Намерете страните на ΔАВС.

[Knowledge Greedy]

Щом са равни ъглите [tex]\angle BMA = \angle ABP[/tex], равни са и съседните им, следователно [tex]\triangle ABC[/tex] е равнобедрен .
(Това следва непосредствено от подобието [tex]\triangle AMC \sim \triangle BPC[/tex])

И сега следва метричната част.
Ако означим всяко от бедрата с [tex]5x[/tex], височината [tex]AD[/tex] към бедрото ще е [tex]3x[/tex] ( Защото [tex]sin\gamma = 0,6[/tex])
Тогава [tex]CD=4x[/tex] - от условието [tex]cos\gamma =0,8[/tex], а парченцето от бедрото [tex]BD=x[/tex] ще ни помогне в питагорова теорема за [tex]\triangle ABD[/tex] да открием дължината на основата [tex]AB=x\sqrt{10}[/tex]
Сега свързваме определените "[tex]x[/tex] "- ови отсечки във формула за медианата, с последния неизползван факт - дължината [tex]1[/tex] на медианата [tex]BP[/tex]
[tex]AC=BC=\frac{2\sqrt{5}}{3}[/tex]
[tex]AB=\frac{2\sqrt{2}}{3}[/tex]
__________________
М.б. по-добър начин.
Много е възможно учениците с пресни знания върху косинусова теорема, да приложат въпросната теорема за [tex]\triangle BCP[/tex] веднага след доказването [tex]\triangle AMC \sim \triangle BPC[/tex].