Четириъгълник

[Гост]

ABCD, ∠DAC = 98◦
, ∠DBC = 82◦
, ∠BCD = 70◦
, BC = AD. ∠ACD=?

[S.B.]

Без заглавие (6).png (234.98 KiB) Прегледано 305 пъти

ABCD, ∠DAC = 98◦
, ∠DBC = 82◦
, ∠BCD = 70◦
, BC = AD. ∠ACD=?

Извинявам се,но чертежът не е точен,а схематичен

Нека [tex]BC = AD = a , \angle ACD = \varphi[/tex]

За $\triangle BCD \rightarrow \angle DBC= 82^\circ , \angle DCB = 70^\circ \Rightarrow \angle BDC = 28^\circ$
Синусова теорема за $\triangle BCD \rightarrow \frac{BC}{sin28^\circ} = \frac{DC}{sin82^\circ} \Leftrightarrow \frac{a}{sin28^\circ} = \frac{DC}{sin82^\circ} \Rightarrow DC = \frac{asin82^\circ}{sin28^\circ}$ (A)

Синусова теорема за $\triangle ACD \rightarrow \frac{AD}{sin\varphi} = \frac{DC}{sin98^\circ} \Leftrightarrow \frac{a}{sin\varphi} = \frac{DC}{sin98^\circ}\Rightarrow DC = \frac{asin98^\circ}{sin\varphi}$ (B)

От (A) и (B) получавам:

$\frac{asin82^\circ}{sin28^\circ} = \frac{asin98^\circ}{sin\varphi} \Leftrightarrow \frac{sin(90^\circ - 8^\circ)}{sin28^\circ} = \frac{sin(90^\circ + 8^\circ)}{sin\varphi} \Leftrightarrow \frac{cos8^\circ}{sin28^\circ} = \frac{cos8^\circ}{sin\varphi} \Leftrightarrow sin28^\circ = sin\varphi $
$\varphi < 70^\circ \Rightarrow \varphi = 28^\circ$
$$\angle ACD = 28^\circ$$

[Knowledge Greedy]

Сред данните подозрително
[tex]98^\circ+82^\circ=180^\circ[/tex] и затова преформатираме задачата за вписан четириъгълник, значи трапец [tex]ABCD[/tex] - ако все още държим на [tex]AD=BC[/tex]
Всъщност четириъгълникът вече ще се казва [tex]A_1BCD[/tex]
Тогава

Без синусова теорема.png (4.15 KiB) Прегледано 298 пъти

[tex]\triangle AA_C \cong \triangle BCD[/tex] по втори признак и … веднага се вижда, че [tex]\angle DCA= \angle DCA_1= \angle BDC= 28^\circ[/tex]
__________
Съжалявам точката С не е излязла - горе вдясно на чертежа.

[Knowledge Greedy]

На чертежа [tex]\triangle А_1AD[/tex] e равнобедрен [tex]A_1D=AD(=BC)[/tex], с ъгли при основата [tex]A_1A[/tex], равни на [tex]82^\circ[/tex]
(Външният ъгъл за този триъгълник е [tex]\angle DAC =98^\circ[/tex]).

В предишния пост съм искал да напиша [tex]\triangle AA_1C \cong BCD[/tex]
- те имат равни страни [tex]A_1D=BC[/tex]
- [tex]A_1C=BD[/tex] - като диагонали на равнобедрен трапец
- равни ъгли [tex]\angle DA_1C= \angle CBD[/tex] между съответните равни страни - всеки с мярка [tex]82^\circ[/tex] - половината от мярката на дъгата [tex]\widehat{DC}[/tex]
Признакът за еднаквост е не втори, а първи - две страни и ъгъл между тях.
От еднаквостта непосредствено следва, че [tex]\angle A_1(A)CD=\angle BDC=28^\circ[/tex]