триъгълник, косинусова теорема

[moni2003petrova]

В ΔАВС: а+с=11см, с>а, [tex]\beta[/tex]=60º и r=2/√3см. Да се намерят а, b, c и ha.

[S.B.]

Без заглавие (54).png (183.4 KiB) Прегледано 426 пъти

В ΔАВС: а+с=11см, с>а, [tex]\beta[/tex]=60º и r=2/√3см. Да се намерят а, b, c и ha.

Прилагам Косинусова теорема :
[tex]b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2ac.cos60^\circ \Leftrightarrow b^{2} = (a + b)^{2} - 2ac - 2ac.\frac{1}{2} \Rightarrow b^{2} = 121 - 3ac[/tex]
$S_{ABC } = \frac{1}{2}ac.sin60^\circ \Rightarrow S_{ABC } = \frac{ac}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} $, но $S_{ABC } = p.r \Leftrightarrow S_{ABC } = \frac{b + 11}{2}.\frac{2}{\sqrt{3}}$
$\Rightarrow \frac{ac}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{b + 11}{2}\frac{2}{\sqrt{3}} \Rightarrow ac = \frac{4}{3}(b + 11)$
Замествам в $b^{2} = 121 - 3ac$
и получавам : $b^{2} = 121 - 4(b + 11) \Leftrightarrow b^{2} + 4b - 77 = 0 $
$ D = 324,\sqrt{D} = 18 , b_{1,2 } = \frac{- 4 \pm18}{2} , b _{1 } = 7 ,b_{2 } < 0, \Rightarrow b = 7$
От $ b^{2} = 121 - 3ac \rightarrow ac = 24$

$\begin{array}{|l} a + c = 11 \\ ac = 24 \end{array} $ преработка $...\Rightarrow c^{2} -11c + 24 = 0 . D = 25, c_{1 } = 8 , c_{2 } = 3$
Съответно $a_{1 } = 3 , a_{2 } = 8$ , но по условие $c > a \Rightarrow c = 8 , a = 3$
От $\triangle ABH \rightarrow \frac{AH}{AB} = sin60^\circ \Leftrightarrow h_{a } = c.sin60^\circ \Rightarrow h_{a } = 4\sqrt{3}$
$$ a = 3, b = 7 ,c = 8 ,h_{a } = 4\sqrt{3}$$

[moni2003petrova]

Без заглавие (54).png

В ΔАВС: а+с=11см, с>а, [tex]\beta[/tex]=60º и r=2/√3см. Да се намерят а, b, c и ha.

Прилагам Косинусова теорема :
[tex]b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2ac.cos60^\circ \Leftrightarrow b^{2} = (a + b)^{2} - 2ac - 2ac.\frac{1}{2} \Rightarrow b^{2} = 121 - 3ac[/tex]
$S_{ABC } = \frac{1}{2}ac.sin60^\circ \Rightarrow S_{ABC } = \frac{ac}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} $, но $S_{ABC } = p.r \Leftrightarrow S_{ABC } = \frac{b + 11}{2}.\frac{2}{\sqrt{3}}$
$\Rightarrow \frac{ac}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{b + 11}{2}\frac{2}{\sqrt{3}} \Rightarrow ac = \frac{4}{3}(b + 11)$
Замествам в $b^{2} = 121 - 3ac$
и получавам : $b^{2} = 121 - 4(b + 11) \Leftrightarrow b^{2} + 4b - 77 = 0 $
$ D = 324,\sqrt{D} = 18 , b_{1,2 } = \frac{- 4 \pm18}{2} , b _{1 } = 7 ,b_{2 } < 0, \Rightarrow b = 7$
От $ b^{2} = 121 - 3ac \rightarrow ac = 24$

$\begin{array}{|l} a + c = 11 \\ ac = 24 \end{array} $ преработка $...\Rightarrow c^{2} -11c + 24 = 0 . D = 25, c_{1 } = 8 , c_{2 } = 3$
Съответно $a_{1 } = 3 , a_{2 } = 8$ , но по условие $c > a \Rightarrow c = 8 , a = 3$
От $\triangle ABH \rightarrow \frac{AH}{AB} = sin60^\circ \Leftrightarrow h_{a } = c.sin60^\circ \Rightarrow h_{a } = 4\sqrt{3}$
$$ a = 3, b = 7 ,c = 8 ,h_{a } = 4\sqrt{3}$$

А как се стига до това равенство? S ABC= 1/2*ac.sin60 ∘

[S.B.]

А как се стига до това равенство? S ABC= 1/2*ac.sin60 ∘

Това е формула за лице на триъгълник - полупроизведение от две страни и синуса от ъгъла между тях.Трябва да сте я учили вече.Ако не сте може да я изведеш така:
От [tex]\triangle ABH \rightarrow \frac{AH}{AB} = sin\beta \Leftrightarrow \frac{h_{a }}{c} = sin\beta \Rightarrow h_{a } = c.sin\beta[/tex]
$S_{ABC } = \frac{ah_{a }}{2} \Leftrightarrow S_{ABC } = \frac{1}{2}acsin\beta $
В твоята задача $\beta = 60^\circ \Rightarrow S_{ABC } = \frac{1}{2}acsin60^\circ$