триъгълник

[Гост]

Ще се радвам много ако ми помогнете със следните задачи

[Добромир Глухаров]

9. $AM=BM=\frac{1}{2}AB=\frac{10}{2}=5cm$

Косинусова Теорема за $\Delta BMC$
$CM^2=BM^2+BC^2-2BM.BC.cos60^\circ$
$CM^2=5^2+6^2-2.5.6\cdot\frac{1}{2}$
$CM^2=25+36-30=31$
$CM=\sqrt{31}cm$

[Добромир Глухаров]

10. Построяваме си точка М - среда на AB. Понеже $\Delta ABC$ е равнобедрен, следва, че $CM$ освен медиана е височина и ъглополовяща.

От AL - ъглополовяща, следва $\frac{AB}{AC}=\frac{BL}{CL}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$

$AB=15\cdot\frac{2}{3}=10$

$BM=\frac{AB}{2}=5$

От $\Delta BMC$ - правоъгълен следа, че $cos\angle MBC=\frac{MB}{BC}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$

За $\Delta ABL$ прилагаме Косинусова теорема $AL^2=AB^2+BL^2-2.AB.BL.cos\angle ABC$

$AL^2=10^2+6^2-2.10.6\cdot\frac{BM}{BC}$

$AL^2=136-120\cdot\frac{1}{3}=136-40=96$

$AL=\sqrt{96}=\sqrt{16.6}=4\sqrt{6}$

[Добромир Глухаров]

16. $\frac{sin\alpha}{\sqrt{1-sin^2\alpha}}=tg\alpha=2$

$sin^2\alpha=4-4sin^2\alpha$

$5sin^2\alpha=4$

$sin\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}$

$A=\sqrt{\frac{1+\frac{2}{\sqrt{5}}}{1-\frac{2}{\sqrt{5}}}}-\sqrt{\frac{1-\frac{2}{\sqrt{5}}}{1+\frac{2}{\sqrt{5}}}}$

$A=\sqrt{\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}}-\sqrt{\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2}}$

$A=\sqrt{\frac{(\sqrt{5}+2)^2}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}}-\sqrt{\frac{(\sqrt{5}-2)^2}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}}$

$A=\sqrt{\frac{(\sqrt{5}+2)^2}{5-4}}-\sqrt{\frac{(\sqrt{5}-2)^2}{5-4}}$

$A=\frac{\sqrt{5}+2}{5-4}-\frac{\sqrt{5}-2}{5-4}=\sqrt{5}+2-(\sqrt{5}-2)=4$

[Добромир Глухаров]

6. $\alpha:\beta:\gamma=3:4:5$

$\alpha=3x;\ \beta=4x;\ \gamma=5x$

$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$

$3x+4x+5x=12x=180^\circ$

$x=15^\circ$

Най-малкият ъгъл е $\alpha=3x=45^\circ$

Синусова теорема $\frac{BC}{sin\alpha}=2R$

$BC=2.12\sqrt{2}.sin45^\circ=24\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=24$

[Евва]

16 зад.
[tex]\frac{\sqrt{1+sin\alpha}}{\sqrt{1-sin\alpha}}[/tex] - [tex]\frac{\sqrt{1-sin\alpha}}{\sqrt{1+sin\alpha}}[/tex] =

=[tex]\frac{1+sin\alpha-(1-sin\alpha)}{\sqrt{1^{2}-sin^{2}\alpha}}[/tex]=

=[tex]\frac{2sin\alpha}{cos\alpha}[/tex]=

=2tg[tex]\alpha[/tex]=
=2.2=4

[Добромир Глухаров]

За 17-та задача си има формула за дължината на ъглополовящата по дадени страни на триъгълника $\beta_a=\frac{2}{b+c}\sqrt{b.c.p.(p-a)}$

Най-напред намираме полупериметъра $p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{15+24+21}{2}=30$

Тогава $AL=\frac{2}{AC+BC}\sqrt{AC.BC.p.(p-BC)}=\frac{2}{21+15}\sqrt{21.15.30.6}=\frac{\sqrt{3.7.3.5.6.5.6}}{18}=\frac{3.5.6\sqrt{7}}{18}=5\sqrt{7}$