Система

[Гост]

Да се реши системата:

[tex]\begin{array}{|l} x^{3} + 2x^{2}y - xy^{2} - 2y^{3}= 0\\ x^{2} + y^{2} = 8 \end{array}[/tex]

[S.B.]

Да се реши системата:

[tex]\begin{array}{|l} x^{3} + 2x^{2}y - xy^{2} - 2y^{3}= 0\\ x^{2} + y^{2} = 8 \end{array}[/tex]

Очевидно двойката [tex]x = 0 ;y = 0[/tex] не е сред решенията на системата.Нека $y \ne 0 $ Деля първото уравнение на $y^{3}$:

$\begin{array}{|l} (\displaystyle\frac{x}{y})^{3} + 2(\displaystyle\frac{x}{y})^{2} -\displaystyle \frac{x}{y} - 2 = 0 \\ x^{2} + y^{2} = 8 \end{array}$

Полагам $\frac{x}{y} = t$ замествам и получавам:
$t^{3} + 2t^{2} - t - 2 = 0 \Leftrightarrow t^{2}(t + 2) - (t + 2) = 0 \Leftrightarrow (t + 2)(t^{2} - 1) = 0 \Leftrightarrow (t + 2)(t - 1)(t + 1) = 0$
Решенията са $t = -2 , t = 1 , t = - 1$ след връщане на субституцията получавам $\frac{x}{y} = 2 , \frac{x }{y} = 1 , \frac{x}{y} = - 1$
Образувам нови 3 системи,по-лесни за решаване:

$\begin{array}{|l} \displaystyle\frac{x}{y} = - 2 \\ x^{2} + y^{2} = 8\end{array} \cup \begin{array}{|l} \displaystyle\frac{x}{y} = 1 \\ x^{2} + y^{2} = 8 \end{array} \cup \begin{array}{|l} \displaystyle\frac{x}{y} = - 1 \\ x^{2} + y^{2} = 8 \end{array}$
1)$\begin{array}{|l} x = -2y \\ x^{2} + y^{2} = 8 \end{array} \Leftrightarrow 4y^{2} + y^{2} = 8 \Leftrightarrow 5y^{2} = 8 \Rightarrow y_{1,2 } = \pm \frac{2\sqrt{10}}{5} ; x_{1,2 } =\mp \frac{4\sqrt{10}}{5}$

2)$\begin{array}{|l} x = y \\ x^{2} + y^{2} = 8 \end{array} \Leftrightarrow 2y^{2} = 8 \Rightarrow y_{3,4 } = \pm 2 , x_{3,4 } = \pm 2$

3) $\begin{array}{|l} x = - y \\x^{2} + y^{2} = 8 \end{array} \Leftrightarrow 2y^{2} = 8 \Rightarrow y_{5,6 } = \pm 2 , x_{5 , 6} = \mp 2$

[Добромир Глухаров]

Само един знак сте сбъркала - от $t=-2$ сте писала, че следва $\frac{x}{y}=2$

[S.B.]

Само един знак сте сбъркала - от $t=-2$ сте писала, че следва $\frac{x}{y}=2$

Е, то не е малко! Благодаря!Поправих го!

[Гост]

Благодаря