триъгълник

[moni2003petrova]

В ΔАВС със страни АB=4, BC=2, AC=3 е вписана окръжност, която допира страните му AB и AC, съответно в точките М, N. Намерете лицето на ΔAMN.

[Евва]

Нека вписаната окр. се допира до страната ВС в т.Р ,[tex]\angle[/tex]ВАС=[tex]\alpha[/tex] .
AM и AN са допирателни към окръжността от външна т.А [tex]\Rightarrow[/tex]AM=AN
Аналогично ВМ=BР и СР=CN
Да означим АМ=х ,ВМ=у ,CP=z .От чертежа се вижда,че
[tex]\begin{array}{|l} x + y = 4 \\ x +z = 3\\y+z=2 \end{array}[/tex]
Решаваме системата и получаваме х=[tex]\frac{5}{2}[/tex] (1)
(cos T) [tex]BC^{2}[/tex]=[tex]AB^{2}[/tex]+[tex]AC^{2}[/tex]-2AB.ACcos[tex]\alpha[/tex]
4=16+9-2.4.3cos[tex]\alpha[/tex] ; cos[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{7}{8}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\sqrt{1-\frac{49}{64}}[/tex] ;sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{\sqrt{15}}{8}[/tex] (2)

[tex]S_{AMN }[/tex]=[tex]\frac{AM.AN.sin\alpha}{2}[/tex]=[tex]\frac{x.x\sqrt{15}}{2.8}[/tex]=[tex]\frac{5}{2}[/tex].[tex]\frac{5}{2}[/tex].[tex]\frac{\sqrt{15}}{16}[/tex]=[tex]\frac{25\sqrt{15}}{64}[/tex]