триъгълник

[moni2003petrova]

Намерете лицето на триъгълник по дадени: ma=30, mb=39 и c=26.

[Евва]

720

[KOPMOPAH]

Лице на триъгълник по две медиани и страна.png (12.74 KiB) Прегледано 363 пъти

Златно правило - Видиш ли медиана - удължи я!

На чертежа по-горе:$AD=DF,\,FH||BE$.

$\triangle ABG \approx \triangle AHF \Rightarrow \displaystyle \frac{AG}{AF}=\frac {BG}{FH} \Rightarrow \frac{BG}{FH}=\frac {\displaystyle \frac 23 AD}{2AD}=\frac 13 \Rightarrow FH=2BE=78 $, $AH=3AB=78$, $AF=60$.

$P_{AHF}=108$, Лицето на $\triangle AHF$ по Херонова формула е $$S_{AHF}=\sqrt{108(108-78)(108-78)(108-60)}=2160,$$ а търсеното лице на $\triangle ABC$ е три пъти по-малко (равни височини и разлика в основите три пъти), както е посочила и Евва:$$S_{ABC}=2160:3=720$$.

[Евва]

На мен пък ми хрумна да разгледам [tex]\triangle[/tex]GDE според чертежа на Корморан .
Означих с т.Р средата на отсечката AG .
Средната отсечка ED=[tex]\frac{AB}{2}[/tex]=[tex]\frac{26}{2}[/tex]=13 ; GD=[tex]\frac{1}{3}[/tex]AD=[tex]\frac{1}{3}[/tex].30=10 ; EG=[tex]\frac{1}{3}[/tex]BE=[tex]\frac{1}{3}[/tex].39=13

Според Херон [tex]S_{GDE }[/tex]=[tex]\sqrt{18(18-10)(18-13)(18-13)}[/tex]=[tex]\sqrt{18.8.5.5}[/tex]= 60

Скрит текст: покажи

Забелязваме ,че [tex]S_{APE }[/tex]=[tex]S_{PGE }[/tex]=[tex]S_{GDE }[/tex]

[tex]S_{ABC }[/tex]=2[tex]S_{ADC }[/tex]=2.2[tex]S_{ADE }[/tex]=2.2.3[tex]S_{GDE }[/tex]=12.60=720